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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (2 a + 1) x + a \ln (x - 1)$ ，其中 $a$ 为实数．

(1)、若 $a = - 1$ ，试求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a \in [0, 1]$ ， $x_{1}, x_{2} \in [2, 3]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，若恒有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < λ |\ln (x_{2} - 1) - \ln (x_{1} - 1)|$ ，试求实数 $λ$ 的取值范围．

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2、已知数列{ $a_{n}$ }为等差数列， $a_{2} = 3$ ， $a_{14} = 3 a_{5}$ ，数列{ $b_{n}$ }的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} = 3 b_{n} - 1$ ．

(1)、求{ $a_{n}$ }和{ $b_{n}$ }的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，数列{ $c_{n}$ }的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} - n \cdot 3^{n} < {(- 1)}^{n} \cdot m$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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3、在 ${(a x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，所有项的二项式系数的和为128.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若展开式中 $x$ 的系数为 $- 280$ ，求实数 $a$ 的值.

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4、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}, g (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，若 $f (m) = g (n) < 0$ ，则 $m n$ 的最小值为．

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5、若 $x^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{8} {(x - 1)}^{8}$ ，其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}$ 为实数，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{6} = 56$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} = 128$ D、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} = 127$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{2}$ 成等差数列，则 $q$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、－2

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 0$ ，且 $\{\begin{array}{l} a_{n + 2} = a_{n} - 2 (n 为奇数) \\ a_{n + 2} = a_{n} + 2 (n 为偶数) \end{array}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前2023项之和为（）

A、0 B、2 C、2024 D、4048

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} \ln x$ 与偶函数 $g (x)$ 在交点 $(1, g (1))$ 处的切线相同，则函数 $g (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程为（）

A、 $e x - y + e = 0$ B、 $e x + y - e = 0$ C、 $e x - y - e = 0$ D、 $e x + y + e = 0$

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9、函数 $f (x) = \ln x + 2 x + \frac{1}{x}$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- 1, \frac{1}{2})$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ D、（0，1）

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10、 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中二项式系数最大的项为（）

A、第二项 B、第三项 C、第四项 D、第五项

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11、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左焦点 $F$ 到其中一条渐近线的距离为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = i^{2024}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 - i$ C、 $\frac{1 - i}{2}$ D、 $\frac{1 + i}{2}$

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13、以下可能是函数 $f (x) = \frac{2 x^{2}}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的图像的为（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点与 $F_{2}$ 重合，点G是C与E在第一象限的交点，且 $|G F_{2}| = \frac{5}{3}$ .

(1)、求E的方程.

(2)、设过点 $F_{2}$ 的直线l与E交于点M，N，交C于点A，B，且A，B，M，N互不重合.
（i）若l的倾斜角为45°，求 $\frac{| M N |}{| A B |}$ 的值；
（ii）若P为C的准线上一点，设PA，PB， $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，证明： $k_{3}$ 为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 的等差中项.

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15、已知 $\{a_{n}\}$ 是递增的等差数列， $a_{1} + a_{5} = 14$ ， $a_{2} a_{4} = 40$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}^{2}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ ；

(3)、记 $b_{n} = 16^{n} + \frac{1}{4^{n}}$ ，若 $λ \geq \frac{a_{n} - 4}{b_{n}^{2} - b_{2 n}}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形， $A B // C D$ ， $A D ⊥ P B$ ， $A B = 4$ .

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $B D ⊥ P C$ ，且 $P C = 2 \sqrt{3}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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17、如图，已知倒心形曲线 $C : x^{2} + {(y + |x|)}^{2} = 4$ 与 $y$ 轴交于 $P, Q$ 两点，点 $M$ 是曲线 $C$ 上的一个动点，则（）

A、点 $(- 2, - 2)$ 与 $(1, 1)$ 均在曲线 $C$ 上 B、点 $M$ 的纵坐标的最小值为 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $|M P| + |M Q| \leq 4 \sqrt{3}$ 恒成立 D、曲线 $C$ 内（含边界）共有13个整点（横，纵坐标均为整数的点）

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18、某快递公司 $2020 - 2024$ 年的快递业务量及其增长率如图所示，则（）

A、该公司 $2020 - 2024$ 年快递业务量逐年上升 B、该公司 $2020 - 2024$ 年快递业务量的极差为 $68.5$ 亿件 C、该公司 $2020 - 2024$ 年快递业务量的增长率的中位数为 $29.9 %$ D、该公司 $2020 - 2024$ 年快递业务量的增长率的平均数为 $21.58 %$

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19、已知数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $a_{5}$ 的前三项成公差为 $m$ 的等差数列，后三项成公比为 $m$ 的等比数列，其中 $m \in (0, 1)$ ，若 $a_{2} = a_{4}$ ，则 $a_{1}$ 的最小值为（）

A、 $- 3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $- 3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $1$ D、 $5$

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, λ)$ ， $\vec{b} = (2, 3 λ - 5)$ ，且 $(\vec{b} - \vec{a}) // \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 10$ C、5 D、10

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