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相关试卷

1、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 27 a_{2}$ ， $S_{3} = 26$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{1} + a_{4}} =$ ．

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2、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值点为 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、 $f^{'} (- 2) = 0$ C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, - 2)$ D、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有两个不同的零点，则 $a \in (- \frac{1}{e^{2}}, + \infty)$

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3、下面是关于公差 $d > 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的四个命题，其中正确的有（）

A、数列 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{2 a_{n} - 1\}$ 是等差数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是递增数列 D、数列 $\{a_{n} + 3 n d\}$ 是递增数列

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4、下列说法中正确的有（）

A、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 $4^{3}$ 种报名方法 B、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 $3^{4}$ 种报名方法 C、4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有 $4^{3}$ 种可能结果 D、4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有 $3^{4}$ 种可能结果

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5、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 2$ ，则 $f (e^{x}) - e^{x} > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, ln 2)$ B、 $(ln 2, + \infty)$ C、 $(0, e^{2})$ D、 $(e^{2}, + \infty)$

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6、某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为 $x (x > 0)$ 千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为 $f (x)$ 千元与 $g (x)$ 千元，其中 $f (x) = 2 x$ ， $g (x) = 4 \ln (2 x + 1)$ ，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（）千元．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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7、三次函数 $f (x) = m x^{3} - x^{2} - x$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是减函数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{3}]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, 1]$

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8、已知函数 $f (x) = 3 f^{'} (1) x - x^{2} + ln x + \frac{1}{2}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9、函数 $f (x) = 6 + 12 x - x^{3}$ 的极小值点为（）

A、 $(4, - 10)$ B、 $(- 2, - 10)$ C、 $4$ D、 $- 2$

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10、已知公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{5} - 2 a_{3} = 1$ ，且 $a_{2} = 0$ ，则 $d =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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11、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、6 B、8 C、12 D、16

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3^{x} + 3}{3}, x \leq 1 \\ |\log_{3} (x - 1)|, x > 1 \end{cases}$ ，则函数 $F (x) = f [f (x)] - 3 f (x) - \frac{1}{2}$ 的零点个数是（）

A、 $6$ B、 $5$ C、 $4$ D、 $3$

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13、对于一个四元整数集 $A = \{a, b, c, d\}$ ，如果它能划分成两个不相交的二元子集 $\{a, b\}$ 和 $\{c, d\}$ ，满足 $a b - c d = 1$ ，则称这个四元整数集为“有趣的”．

(1)、写出集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ 的一个“有趣的”四元子集：

(2)、证明：集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ 不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：

(3)、证明：对任意正整数 $n (n \geq 2)$ ，集合 $\{1, 2, 3, \dots, 4 n\}$ 不能划分成 $n$ 个两两不相交的“有趣的”四元子集．

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14、如图，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $P (- 1, 2)$ 作一条不经过 $F$ 的直线 $l$ ，若直线 $l$ 与抛物线交于异于原点的 $A, B$ 两点，点 $B$ 在 $x$ 轴下方，且 $A$ 在线段 $P B$ 上．

(1)、试判断：直线 $F A, F B$ 的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

(2)、过点 $B$ 作 $P F$ 的垂线交直线 $A F$ 于点 $C$ ，若 $△ F B C$ 的面积为4，求点 $B$ 的坐标，

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15、已知三棱锥 $P - A B C$ 满足 $A B ⊥ A C, A B ⊥ P B, A C ⊥ P C$ ，且 $A P = 3, B P = \sqrt{5}, B C = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $A B P$ 所成角的正弦值，

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16、已知数列 $\{3^{a_{n}}\}$ 是首项为3，公比为9的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} + \frac{b_{2}}{3} + \frac{b_{3}}{3^{2}} + \dots + \frac{b_{n}}{3^{n - 1}} = 3 n$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，若 $∠ B D C = 45 °$ ，则 $B D =$ ； $\cos ∠ A B D =$ .

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18、设函数 $f (x)$ 与其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x + 2)$ 为偶函数， $f (1 + x) - f (1 - x) = 0$ ，则（）

A、 $f^{'} (1 + x) = f^{'} (1 - x)$ B、 $f^{'} (3) = 0$ C、 $f^{'} (2025) = 0$ D、 $f (2 + x) + f (2 - x) = 2 f (2)$

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19、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ，则（）

A、直线 $A_{1} C$ 与BD所成的角为90° B、线段 $A_{1} C$ 的长度为 $\sqrt{3}$ C、直线 $A_{1} C$ 与 $B B_{1}$ 所成的角为90° D、直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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20、下列说法正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $σ$ 越小，表示随机变量 $X$ 分布越集中 B、数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9 C、线性回归分析中，若线性相关系数 $|r|$ 越大，则两个变量的线性相关性越弱 D、已知随机变量 $X ~ B (7, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = \frac{7}{2}$

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