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相关试卷

1、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，点 $A (2, 1)$ 在椭圆 $E$ 上．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $B$ ， $C$ 两点（均异于点 $A$ ），且直线 $A B$ 与 $A C$ 的斜率之和为0．证明：直线 $l$ 的斜率为定值，并求出该定值．

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2、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ， $E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，平面 $A E D_{1} \cap B B_{1} = F$ ，且 $\vec{B F} = λ \vec{B_{1} B}$ ．

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、求点 $F$ 到平面 $A_{1} E D_{1}$ 的距离．

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3、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调性和极值；

(2)、作出函数 $f (x)$ 的大致图象．（参考数据： $e^{\frac{3}{2}} \approx 4.48$ ）

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4、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{12} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线 $C$ 的右支交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在第一象限），且 $△ B F_{1} F_{2}$ 是腰长为8的等腰三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为；若直线 $A B$ 的斜率大于零，且圆 $E$ 为 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆，则圆 $E$ 的半径为．

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5、若过点 $(2, t)$ 可以作曲线 $y = ln x$ 的两条切线，则实数 $t$ 的取值范围是．

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6、二项式 ${(1 - 3 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}$ ，若 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{n}| = 1024$ ，则 $a_{3} =$ ．

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7、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 图象连续不间断，函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ．当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) \cos x - 2 f^{'} (x) < f (x) \sin x$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上有且只有1个零点 B、 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (2025) > 0$ D、 $f (- \frac{π}{4}) < f (\frac{π}{4})$

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8、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过点 $F$ 且与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在第一象限，点 $M$ 为 $x$ 轴上一点（ $A$ ， $B$ ， $M$ 三点不共线），满足 $△ M A F$ 的面积是 $△ M B F$ 面积的2倍，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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9、若 $a > 0, b > 0$ ，则“ $a + b > 4$ ”是“ $a b > 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (m, 4)$ ，满足 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ ，则实数 $m =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\pm 2$ D、0

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11、若集合 $A = \{x | ln (\frac{x}{3} - 1) < 0, x \in N^{*}\}$ ，集合 $B = \{x | x^{2} - 5 x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cap B$ 的非空真子集个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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12、已知复数 $z = 1 + 2i$ ，则 $(z - \bar{z}) z =$ （）

A、 $4 + 8 i$ B、 $4 - 8 i$ C、 $4 i - 8$ D、 $4 i + 8$

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左，右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过C的右焦点 $F (2, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $P, Q$ 两点.当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $∠ P A_{1} F = \frac{π}{4}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、直线 $A_{1} P$ ， $A_{1} Q$ 与直线 $x = 1$ 的交点分别为 $M, N$ ， $E$ 为 $A_{2} M$ 的中点.
（i）求 $| M N |$ 的最小值；
（ii）证明：点 $A_{2}$ 关于直线 $E F$ 对称的点在 $l$ 上.

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14、如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为正三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A A_{1} < B B_{1} < C C_{1}$ ， $O$ ， $O_{1}$ 分别为 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心.

(1)、求证： $B B_{1} / / O O_{1}$ ，且平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} O_{1} O$ ；

(2)、若 $A B = A A_{1} = 2$ ， $B B_{1} = 3$ ，直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $C_{1}$ 到平面 $A O_{1} C$ 的距离.

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15、已知函数 $f (x) = (a - x) e^{x}$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为1的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) > 1 - x$ 没有整数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 2$ .

(1)、若 $\frac{sin C}{sin B} = \frac{\sqrt{10}}{2}, cos C = \frac{1}{4}$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ 依次成等差数列，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - ln x - 1, x > 0 \\ - 2 x^{3} - a x^{2} + 1, x \leq 0 \end{array}$ ， $\forall x \in (0, + \infty)$ ，有 $f (x) \cdot f (- x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是．

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18、若 $λ sin 160^{\circ} + tan 20^{\circ} - \sqrt{3} = 0$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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19、已知 $i$ 为虚数单位，若 $(1 - i) (2 + a i)$ 是纯虚数，则实数 $a =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = - a x^{3} + 3 x^{2} + 1$ ，则下列命题中正确的是（）

A、0是 $f (x)$ 的极小值点 B、当 $- 1 < a < 0$ 时， $f (a - 1) < f (a)$ C、若 $a = 1$ ，则 $f (- 2022) + f (- 2023) + f (2024) + f (2025) = 12$ D、若 $f (x)$ 存在极大值点 $x_{1}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = 0$

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