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相关试卷

1、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 是1，2，…， $n$ （ $n \geq 3$ 且 $n \in N^{*}$ ）的一个排列.数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{i + 1}$ 为 $a_{i}$ ， $a_{i + 1}$ ， $a_{i + 2}$ （ $0 \leq i \leq n - 1$ ）的中位数，规定 $a_{0} = a_{n}$ ， $a_{n + 1} = a_{1}$ .将 $\{b_{n}\}$ 中的所有取值构成的集合记为 $P_{n}$ .

(1)、当 $n = 3, 4$ 时，求 $P_{3}$ 和 $P_{4}$ ；

(2)、求 $P_{n}$ 中所有元素之和的最大值；

(3)、求 $P_{n}$ 中元素个数的最小值.

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2、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线 $l$ 的距离为2，点 $D (p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $Γ$ 于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，直线 $A_{1} D$ ， $B_{1} D$ 与直线 $A B$ 分别交于点 $M$ ， $N$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、记 $M$ ， $N$ 的纵坐标分别为 $y_{M}$ ， $y_{N}$ ，当 $\frac{1}{y_{M}} + \frac{1}{y_{N}} = 1$ 时，求直线 $A B$ 的斜率；

(3)、设 $E$ 为 $x$ 轴上一点，记 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别为直线 $M E$ ， $N D$ 的斜率.若 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值，求点 $E$ 的坐标.

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3、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = B D = 2$ ， $A B ⊥ B D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ B P D$ ，其中 $P$ 为动点.

(1)、设 $A P = A D$ ，
（ⅰ）证明： $A B ⊥$ 平面 $B P D$ ；
（ⅱ）求三棱锥 $P - A B D$ 的体积；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值的最大值.

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4、已知函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - a x$ （ $a \in R$ ）.

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、当 $a > \frac{1}{e}$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、当 $a > 0$ 时，设 $f (x)$ 的极大值为 $g (a)$ ，求证： $g (a) \geq - \frac{2}{e^{2}}$ .

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5、某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表：
新能源汽车 $A$ 款
新能源汽车 $B$ 款
总计
男性
50
10
$x$
女性
25
15
40
总计
$y$
25
100

(1)、求 $x, y$ ；

(2)、根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？

(3)、假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq k)$
0.10
0.05
0.010
0.005
$k$
2.706
3.841
6.635
7.879

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6、甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合 $A$ ， $B$ ， $C$ ，记 $A \cap B \cap C$ 中元素的个数为 $m$ ，则 $m \geq 1$ 的概率为.

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7、已知 $⊙ O$ 是单位圆，正三角形 $A B C$ 的顶点 $A$ ， $B$ 在 $⊙ O$ 上，则 $|O C|$ 的最大值为.

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8、曲线 $y = 3^{x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程是.

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9、设曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y |y| = 1$ ，直线 $y = a x + b$ 与曲线 $C$ 的交点的可能个数的集合记为 $D (a, b)$ ，则（）

A、 $D (a, b) = \{0, 1, 2, 3\}$ B、 $D (a, 2) = \{0, 1, 2\}$ C、 $D (a, - 3 a) = \{0, 1, 2\}$ D、若 $D (a, b) = \{3\}$ ，则 $|a| > \frac{1}{2}$ 且 $b < 0$

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10、设函数 $f (x) = (x^{3} - x) \ln x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x) \geq 0$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递增 D、 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极小值点

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11、已知复数 $ω = \cos 120 ° + i \sin 120 °$ （ $i$ 是虚数单位），则（）

A、 $|ω| = 1$ B、 $ω^{2} = \bar{ω}$ C、 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ D、 $\frac{1}{ω^{2}} + \frac{1}{ω} = 1$

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12、若 $\sin x + \cos x = 2 \sin α$ ， $\sin x \cos x = \sin^{2} β$ ，则（）

A、 $4 \cos^{2} 2 α = \cos^{2} 2 β$ B、 $\cos^{2} 2 α = 4 \cos^{2} 2 β$ C、 $4 \cos 2 α = \cos 2 β$ D、 $\cos 2 α = 4 \cos 2 β$

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13、设函数 $y = f (x) - x^{2}$ 是奇函数.若函数 $g (x) = f (x) + 5$ ， $f (4) = 9$ ，则 $g (- 4) =$ （）

A、27 B、28 C、29 D、30

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14、定义“真指数” $e_{+}^{x} = \{\begin{array}{l} 1, x < 0, \\ e^{x}, x \geq 0 \end{array}$ （e为自然对数的底数），则（）

A、 $e_{+}^{x_{1} + x_{2}} = e_{+}^{x_{1}} \cdot e_{+}^{x_{2}}$ B、 $e_{+}^{x_{1} - x_{2}} = \frac{e_{+}^{x_{1}}}{e_{+}^{x_{2}}}$ C、 $e_{+}^{x_{1}} + e_{+}^{x_{2}} \geq 2 e_{+}^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$ D、 $e_{+}^{x_{1} x_{2}} \leq {(e_{+}^{x_{1}})}^{x_{2}}$

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15、已知 $A \in R$ ， $ε$ 为任意正数，若 $|A - 6| \leq ε$ 恒成立，则（）

A、 $A = 6$ B、 $A = \pm 6$ C、 $A > 6$ D、 $A < 6$

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16、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则（）

A、 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = n$ B、 $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x_{1})}^{2} = n$ C、 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 0$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} {|x_{i} - x_{1}|}^{2} = 0$

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17、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 2$ ， $a_{1} - a_{3} = 3$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公比等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 2)$ ， $\vec{c} = (1, 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ （）

A、2 B、0 C、 $- 2$ D、 $- 7$

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19、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x| x^{2} - x = 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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20、设 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .
（I）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（II）设数列 ${S_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .

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	新能源汽车 $A$ 款	新能源汽车 $B$ 款	总计
男性	50	10	$x$
女性	25	15	40
总计	$y$	25	100

$P (χ^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.010	0.005
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879