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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $(\sqrt{n^{2} - 1} + 1) S_{n} = n S_{n - 1} + a_{n}$ （ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ），若 $S_{k} = \frac{1}{35}$ ，则 $k =$ （）

A、49 B、50 C、51 D、52

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2、如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为 $\frac{2}{3}$ ，向右移动的概率为 $\frac{1}{3}$ ，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则 $P (X > 0) =$ （）

A、 $\frac{40}{243}$ B、 $\frac{52}{243}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{17}{81}$

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3、过点 $P (1, 1)$ 作曲线 $y = x^{3}$ 的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ .设 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{7}{13}$ C、 $\frac{9}{13}$ D、 $\frac{11}{13}$

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4、现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）

A、216 B、432 C、864 D、1296

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ，将 $\{a_{n}\}$ 依原顺序按照第n组有 $2^{n}$ 项的要求分组，则2024所在的组数为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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6、已知随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ .若 $P (1 \leq X < 3) = 0.2$ ，设事件 $A =$ “ $X < 1$ ”，事件 $B =$ “ $|X| > 1$ ”，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{2}{7}$

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7、已知函数 $f (x) = \log_{2} \frac{1}{x}$ ，则函数 $f (x)$ 的导函数为（）

A、 $f^{'} (x) = \frac{\ln 2}{x}$ B、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x \ln 2}$ C、 $f^{'} (x) = - \frac{\ln 2}{x}$ D、 $f^{'} (x) = - \frac{1}{x \ln 2}$

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8、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，直线l与C交于A，B两点， $F A ⊥ F B$ ， $|F A| = 2 |F B|$ ，则l的斜率是（）

A、±1 B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、±2

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9、函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + 3) (1 - \frac{2}{x}) (2 x^{2} + a x + b)$ ，对任意的 $x \neq 0$ 时，都有 $f (x) - f (\frac{1}{x}) = 0$ ，则 $a + 2 b =$ ，函数 $f (x)$ 的最小值是.

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10、对于给定的非空集合M，定义集合 $M^{+} = \{z| z = |x + y|, x \in M, y \in M\}$ ， $M^{-} = \{z| z = |x - y|, x \in M, y \in M\}$ ，当 $M^{+} \cap M^{-} = \emptyset$ 时，则称 $M$ 具有“对称性”，而 $M^{+}$ ， $M^{-}$ 称为 $M$ 的对称集合．

(1)、试判断集合 $S = {3, 4}$ ， $T = {0, 1, 7}$ 是否具有“对称性”，如果有，求出其对称集合；如果没有，请说明理由

(2)、若集合 $A = \{1, 2, t\} \subseteq N$ ，且集合 $A$ 具有"对称性"，求 $t$ 的最小值．

(3)、已知 $0 \leq m \leq 2023$ ，且 $m \in N$ ，记 $B = {m, m + 1, m + 2, \dots, 2024}$ ，若集合B具有“对称性”，求m的最小值．

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11、高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的"高斯函数"为 $y = [x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数．例如： $[- 3.1] = - 4$ ， $[3.1] = 3$ ，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，例如停车收费，出租车收费等都是按"高斯函数"进行计费的；“11.11”期间，某购物网站进行下面二项优惠促销活动：
第一项：一次性购买商品，每满120元立减10元；
第二项：在享受了第一项优惠以后，购买的商品总价每满800元再减80元．
例如，一次购买商品1620元，则实际支付额 $1620 - 10 \times [\frac{1620}{120}] - 80 \times 1 = 1410$ 元；

(1)、小丽计划在网站购买两件价格分别是500元和1300元的商品，她是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；

(2)、某商品是小丽常用必需品，其价格为60元/件，小丽预算不超过1000元，试求她应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？

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12、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a, b, c \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ， $f (x) > 0$ 的解集为 $(- \infty, 2) \cup (3, + \infty)$ ，求 $b, c$ ；

(2)、 $a = \sqrt{b + c - 1}$ ，方程 $f (x) = 0$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，求 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1)$ 的最小值．

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13、若关于x的不等式 $x^{2} + | x - a | < 3$ 在 $(- \infty, 0)$ 上有解，则实数a的取值范围是．

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14、如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 $18000 {cm}^{2}$ ，四周空白的宽度为 $1 0cm$ ，两栏之间的中缝空白的宽度为 $5cm$ ，则矩形广告的总面积最小值为 ${cm}^{2}$ ．

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15、已知正实数x，y满足 $x y + x + y = 8$ ，下列说法正确的是（）

A、xy的最大值为2 B、 $x + y$ 的最小值为4 C、 $x + 2 y$ 的最小值为 $6 \sqrt{2} - 3$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最大值为1

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16、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，可将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．则函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ 图象的对称中心为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, - 2)$ D、 $(- 1, - 2)$

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17、甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员
甲说：“冠军是李亮或张正”
乙说：“冠军是林帅或张正”
丙说：“林帅和李亮都不是冠军”
丁说：“陈奇是冠军”．
结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（）

A、林帅 B、李亮 C、陈奇 D、张正

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18、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (m) = f (m + 1)$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

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19、为实现碳达峰、碳中和，中共中央国务院提出，到2025年单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降18%，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是（）

A、0.036 B、 $\sqrt[5]{0.82}$ C、 $1 - \sqrt[5]{0.82}$ D、 $1 + \sqrt[5]{0.82}$

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20、若 $a = 2^{0.6}$ ， $b = 4^{0.4}$ ， $c = {0.8}^{3}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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