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相关试卷

1、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点为 $(2 \sqrt{5}, 0)$ ，一条渐近线方程为 $2 x - y = 0$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知倾斜角为 $\frac{3π}{4}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点的纵坐标为4，求弦长 $|A B|$ .

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2、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = \frac{\sqrt{3}}{2} A A_{1}$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $M$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，N是AC的中点．

(1)、证明：直线 $M N ⊥$ 直线BC；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角的正弦值．

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3、如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $A B E F$ 的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角 $D - A B - F$ 的平面角 $60 °$ ， M，N分别是 $A C$ ， $B F$ 上的动点， $A M = B N$ ，则 $M N$ 的最小值是．

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4、已知空间向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是．

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5、抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，一束平行于x轴的光线 $l_{1}$ 从点 $M (3, 1)$ 射入，经过抛物线上的点 $P (x_{1}, y_{1})$ 反射后，再经抛物线上另一点 $Q (x_{2}, y_{2})$ 反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，则下列结论中正确的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = 1$ B、 $k_{P Q} = - \frac{4}{3}$ C、 $|P Q| = \frac{25}{4}$ D、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为4

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6、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，已知 $A (- 1, 0, 0)$ ， $B (1, 2, - 2)$ ， $C (0, 0, - 2)$ ， $D (2, 2, - 4)$ ，则以下正确的是（）

A、 $|\vec{B C}| = \sqrt{5}$ B、 $\vec{A C}, \vec{A B}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$ C、 $A, B, C, D$ 共面 D、点 $O$ 到直线AB的距离是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，以下结论正确的是（）

A、若 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 只有一个公共点，则 $r = 2$ B、若 $r = 1$ ，则 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 关于直线 $x = \frac{3}{2}$ 对称 C、若 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 外离，则 $1 < r < 2$ D、若 $r > 4$ ，则 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 内含

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8、《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形，E、F分别为PD，PB的中点， $G$ 为直线CP上的动点， $P A = 2$ ， $A B = 1$ ，若 $A G ⊥$ 平面 $E F C$ ，则 $\frac{C G}{C P} =$ （）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{5}{7}$

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9、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，E是 $B C$ 的中点，F是 $A E$ 的三等分点（靠近A点），用空间向量 ${\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D}}$ 表示 $\vec{D F}$ ，则 $\vec{D F} =$ （）

A、 $\vec{D F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C} - \vec{A D}$ B、 $\vec{D F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{D F} = \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C} - \vec{A D}$ D、 $\vec{D F} = \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C} + \vec{A D}$

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10、设 $a \in R$ ，则“ $a = 2$ ”是“直线 $l_{1} : a x + 6 y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (a + 1) y + 4 = 0$ 平行”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是BD的中点，则直线 $M D_{1}$ 和 $B C_{1}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $\sqrt{3} x + y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、英国物理学家牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，具体做法如下：先在x轴找初始点 $(x_{1}, 0)$ ，然后作 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线，切线与x轴交于点 $(x_{2}, 0)$ ，再作 $y = f (x)$ 在点 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线，切线与x轴交于点 $(x_{3}, 0)$ ，再作 $y = f (x)$ 在点 $(x_{3}, f (x_{3}))$ 处的切线，以此类推，直到求得满足精度的近似解 $x_{n} (n \geq 2)$ 为止.
已知 $f (x) = x^{4}$ ，在横坐标为 $x_{1} = 1$ 的点处作 $f (x)$ 的切线，切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，继续牛顿法的操作得到数列 $\{x_{n}\}$ .

(1)、求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{n \cdot x_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，满足 $S_{n} \geq 16 - λ {(\frac{5}{6})}^{n}$ ，求整数 $λ$ 的最小值.
（参考数据： ${0.9}^{4} \approx 0.6561$ ， ${0.9}^{5} \approx 0.5905$ ， ${0.9}^{6} \approx 0.5314$ ， ${0.9}^{7} \approx 0.4783$ ）

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14、已知函数 $f (x) = x e^{x}, g (x) = x + ln x + m$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $g (x) \leq f (x)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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15、在不大于 $k^{n} (k, n \in N^{*}, k \geq 2)$ 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数的个数记为 $F_{k} (n)$ . $[x]$ 表示不超过x的最大整数，令 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{5}{F_{6} (i) - 1}$ ，则 $[S_{1}] + [S_{2}] + [S_{3}] + \cdot \cdot \cdot + [S_{100}] =$ .

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16、若函数 $f (x) = x \sin x + \cos x - \frac{1}{2} a x^{2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为.

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17、在 ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中 $x^{5}$ 的系数为.（用数字作答）

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18、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域都为 $R$ ，对于任意的 $x, y \in R$ ，都有 $f (x) + f (y) = 2 f (\frac{x + y}{2}) f (\frac{x - y}{2})$ 成立，则下列说法正确的是（）．

A、 $f (0) = 1$ B、若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (2) = - \frac{1}{2}$ C、 $f^{'} (x)$ 为偶函数 D、若 $f (1) = 0$ ，则 $f (\frac{11}{2}) + f (\frac{15}{2}) + f (\frac{19}{2}) + \dots + f (\frac{2019}{2}) + f (\frac{2023}{2}) = 0$

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19、有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台车床加工的零件数的比为5：6：9，加工出来的零件混放在一起，第1、2、3台车床加工的次品率分别为6%，5%，4%.现从三台车床加工的零件中任取一个，则（）

A、该零件由第1台车床加工的概率为0.25 B、该零件为次品的概率为0.048 C、若该零件为次品，则其由第2台车床加工的概率为 $\frac{1}{3}$ D、若该零件为次品，则其由第3台车床加工的概率最大

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20、已知不等式 $2 λ e^{2 x} + \ln λ \geq \ln x$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2 e}, + \infty)$ D、 $[\frac{2}{e}, + \infty)$

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