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相关试卷

1、直线 $l$ 经过抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ ，且与 $E$ 交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方)，点 $M_{n} (n, 0)$ （ $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ）在 $x$ 轴上，直线 $A M_{n}$ ， $B M_{n}$ 分别与 $E$ 交于点 $C_{n}$ ， $D_{n}$ ，记直线 $C_{n} D_{n}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n}$ .

(1)、若直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，求直线 $C_{2} D_{2}$ 的方程.

(2)、证明： $\sum_{i = 2}^{n} \frac{1}{x_{i}} < \frac{3}{4}$ .

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2、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = B D = \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折至 $△ P B E$ ，使得平面 $P B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ， $M$ 是线段 $P C$ 上的一个动点.

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P C E$ ；

(2)、当 $△ B D M$ 的面积最小时，求平面 $B D M$ 与平面 $P B E$ 夹角的余弦值.

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3、已知 $a ， b ， c$ 为 $△ A B C$ 的角 $A ， B ， C$ 所对的边，且满足 $2 b (\sin B \cos C + \sqrt{3} \cos A) + c \sin 2 B = 0$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - \frac{15}{2} ， a = 7$ ，求 $A D$ 的长.

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4、已知 6 位同学中有 3 位女生，3 位男生，现将这 6 位同学随机平均分成 $A$ ， $B$ 两组，进行比赛.

(1)、求 $A$ 组中女生的人数 $X$ 的分布列.

(2)、记事件 $M$ ：女生不都在同一组，事件 $N$ ：女生甲在 $A$ 组. 判断事件 $M ， N$ 是否相互独立，并证明你的结论.

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5、若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 0, |a_{n + 1} - a_{n}| = n, n \in N^{*}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为 $α$ 数列. 若 $α$ 数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，则 $a_{10} =$ ；若 $α$ 数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{2 n + 2} > b_{2 n}$ ，且 $b_{n} \leq \frac{n - 1}{2}, n \in N^{*}$ ，则 $b_{2 n} =$ .

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6、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 的一个交点 $P$ 的纵坐标为 $\frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，则 $C$ 的离心率为.

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7、已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边落在第一象限，角 $α$ 的终边按顺时针方向旋转 $\frac{π}{3}$ 后与单位圆交点的纵坐标为 $\frac{1}{3}$ ，则角 $α$ 的终边按逆时针方向旋转 $\frac{π}{6}$ 后与单位圆交点的横坐标是.

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8、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，其图象关于直线 $x = 2$ 对称， $f (2) = 4$ ，且 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, 1]$ ，都有 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ，则（）

A、 $f (1) = - 2$ B、 $f (\frac{7}{2}) = \sqrt{2}$ C、 $f (4) = 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{2025} f (i) = 4555$

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9、已知圆柱的轴截面为矩形 $A B C D, B C = 2, A B$ 为下底面圆的直径，点 $E$ 在下底面圆周上， $A E = B E, F$ 为 $C E$ 的中点， $B F ⊥ A C$ ，则（）

A、该圆柱的体积为 $4 π$ B、该圆柱的表面积为 $16 π$ C、直线 $A C$ 与平面 $B C E$ 所成角为 $30^{\circ}$ D、二面角 $C - A E - B$ 为 $45^{\circ}$

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10、某企业有 $A, B$ 两条生产线，现对这两条生产线的产品的质量指标值进行分析，得到如下数据： $A$ 生产线的产品质量指标值 $X \sim N (83, 36)$ ， $B$ 生产线的产品质量指标值 $Y \sim N (80, 25)$ . 已知 $A$ 生产线的产量是 $B$ 生产线的 $2$ 倍，则（）

A、 $A$ 生产线产品质量指标值的均值高于 $B$ 生产线产品质量指标值的均值 B、该企业产品质量指标值的均值是 $82$ C、 $A$ 生产线产品质量指标值的标准差低于 $B$ 生产线产品质量指标值的标准差 D、 $A$ ， $B$ 两条生产线的产品质量指标值低于 $65$ 的概率相同

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x} - a, x > 1 \\ (x - a) (4 x - a), x \leq 1 \end{array}$ 恰有2个零点，则实数 $a$ （）

A、有最大值，没有最小值 B、有最小值，没有最大值 C、既有最大值，也有最小值 D、既没有最大值，也没有最小值

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12、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 在区间 $[a, b]$ 上单调，且 $f (b) = f (a) + 2$ ，则函数 $g (x) = \cos (ω x + φ)$ 在区间 $[a, b]$ 上（）

A、单调递增 B、单调递减 C、最大值为 $1$ D、最小值为 $- 1$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} > 0, S_{10} = 4 a_{4}$ ，则 $a_{n} + S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、10

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14、已知单位向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + λ \vec{b}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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15、若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $|z_{1}| = 5$ 且 $z_{2} = i z_{1}$ ，则 $|z_{1} + z_{2}| =$ （）

A、5 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、10

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16、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的两个焦点，点 $M (\frac{3}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $|M F_{1}| + |M F_{2}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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17、已知 $α$ 是一个平面， $a, b$ 是两条不同的直线， $b \subset α, p : a ⊥ α, q : a ⊥ b$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知集合 $A = \{x |x > - \sqrt{5}\}$ ， $B = \{- 1, - 2, - 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{- 1, - 2\}$ C、 $\{- 3\}$ D、 $\{- 1, - 2, - 3\}$

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19、已知函数 $f (x) = a x - ln x$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $0 < a < \frac{1}{e}$ 时，判断函数 $f (x)$ 在区间 $(1, \frac{1}{a^{2}})$ 上零点的个数，并证明；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 2$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $\frac{1}{a e} < x_{1} x_{2} < \frac{1}{a^{2}}$ .

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (- 1, \frac{3}{2})$ 和点 $B (2, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)、过椭圆的右焦点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于M，N两点（点 $M$ 在 $x$ 轴的上方），且 $\vec{M F} = λ \vec{F N}$ ，若 $△ B M N$ 的面积为 $\frac{6 \sqrt{2}}{7}$ ，求 $λ$ 的值.

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