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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = \sin 2 x + λ i$ ， $z_{2} = m + (m - \sqrt{3} \cos 2 x) i, (λ, m, x \in R)$ ，且 $z_{1} = z_{2}$ ．

(1)、若 $λ = 0$ 且 $0 < x < π$ ，求 $x$ 的值；

(2)、设 $λ$ ＝ $f (x)$ ，已知当 $x = α$ 时， $λ = \frac{1}{2}$ ，试求 $\cos (4 α + \frac{π}{3})$ 的值．

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若向量 $\vec{p} = (a, \cos A)$ ，向量 $\vec{q} = (\sqrt{3} b, \sin B)$ ，且 $\vec{p} // \vec{q}$ ．
（1）求角 $A$ 的大小；
（2）若 $3 b = c = 3$ ，且 $3 \overset{⃑}{B D} = \overset{⃑}{B C}$ ，求 $|\overset{⃑}{A D}|$ ．

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b}) = - 5$ ．

(1)、若 $(\vec{a} - \vec{k b}) ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数k的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角．

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4、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点P满足 $\overset{⃑}{A P} = \frac{1}{2} (\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C})$ ，则 $| \overset{⃑}{P D} | =$ ； $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P D} =$ ．

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\tan θ = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ C、若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 共线，则 $\vec{b}$ 为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 或 $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

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6、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 120 ° ， \vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 3$ ，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，则 $|\vec{A G}|$ 的最小值是

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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7、在 $△ A B C$ 中， $sin (B - A) = \frac{1}{4}, 2 a^{2} + c^{2} = 2 b^{2}$ ，则 $sin C =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为等腰直角三角形，其中 $O^{'}$ 与 $A^{'}$ 重合， $A^{'} B^{'} = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、9 B、 $9 \sqrt{2}$ C、18 D、 $18 \sqrt{2}$

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9、复数 $z = a + b i (a \neq 0 ， a ， b \in R)$ 满足 $(1 - i) z$ 为纯虚数，则（）

A、 $a + b = 0$ B、 $a - b = 0$ C、 $a + 2 b = 0$ D、 $a - 2 b = 0$

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10、设 $M =$ {正四棱柱}， $N =$ {直四棱柱}， $P =$ {长方体}， $Q =$ {直平行六面体}，则四个集合的关系为 ( )

A、M $\subseteq$ P $\subseteq$ N $\subseteq$ Q B、M $\subseteq$ P $\subseteq$ Q $\subseteq$ N C、P $\subseteq$ M $\subseteq$ N $\subseteq$ Q D、P $\subseteq$ M $\subseteq$ Q $\subseteq$ N

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11、已知 $⊙ C$ 的圆心在直线 $3 x - y - 3 = 0$ 上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1， $⊙ C$ 被直线l： $x - y + 3 = 0$ 截得的弦长为2.

(1)、求 $⊙ C$ 的方程；

(2)、设点D在 $⊙ C$ 上运动，且点 $T$ 满足 $\overset{⃑}{D T} = 2 \overset{⃑}{T O}$ ，（O为原点）记点 $T$ 的轨迹为 $E$ .
①求曲线 $E$ 的方程；
②过点 $M (1 ， 0)$ 的直线与曲线 $E$ 交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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12、下列给出的命题正确的是（）

A、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则 $l / / α$ B、两个不重合的平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1)$ ， $\vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 也是空间的一组基底 D、对空间任意一点O与不共线的三点 $A, B, C$ ，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ （其中 $x, y, z \in R$ ），则 $P, A, B, C$ 四点共面

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13、已知向量 $\vec{O A} = (0, 1, 2), \vec{O B} = (- 1, 0, 1), \vec{O C} = (2, 1, λ)$ ，若 $O, A, B, C$ 共面，则 $\vec{O C}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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14、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{1} = 2$ ， $b_{n + 1} = T_{n} + 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}^{2}$ ，设数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $P_{n}$ ，求 $P_{2 n}$ ；

(3)、若数列 $\{d_{n}\}$ 满足： $d_{n} = \frac{b_{n}}{b_{n} + 1} + \frac{b_{n}}{b_{n} - 1}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{n} d_{i} < 2 n + 1$ ．

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15、已知直线 $l$ ： $k x - y + 1 + 2 k = 0$ ．
（1）求 $l$ 经过的定点坐标 $P$ ；
（2）若直线 $l$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于点 $B$ ．
① $△ A O B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最小值和此时直线 $l$ 的方程；
②当 $P A + \frac{1}{2} P B$ 取最小值时，求直线 $l$ 的方程．

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16、设函数 $f (x) = \frac{3 x}{2 x + 3}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = f (a_{n}), n \in N^{*}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、令 $b_{n} = a_{n - 1} \cdot a_{n} (n \geq 2), b_{1} = 3, S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ，若 $S_{n} < \frac{m - 2015}{2}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 成立，求最小正整数 $m$ 的值.

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17、甲､乙､丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲､丙都未命中的概率是 $\frac{1}{12}$ ，乙､丙都命中的概率是 $\frac{1}{4}$ ，若每人是否命中互不影响.

(1)、求乙､丙两人各自命中的概率；

(2)、求甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率.

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18、 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (4, 0), B (6, 7), C (0, 3)$ ，求：

(1)、边 $A B$ 上的中线所在直线的方程；

(2)、边 $A C$ 上的垂直平分线所在直线的方程.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 6$ ，且 $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = 2$ ，若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（例如 $[1.6]= 1,[- 1.6] = - 2)$ ，记 $b_{n} = [\frac{{(n + 1)}^{2}}{a_{n}}]$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前2024项和为.

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20、已知 $a > 0, b > 0$ ，直线 $(a - 1) x + y - 1 = 0$ 和 $x + 2 b y + 1 = 0$ 垂直，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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