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相关试卷

1、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ B、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ D、若 $z = \sqrt{3} (cos θ + isin θ)$ ，则 $|z - 2 - 4 i|$ 的最大值为 $2 \sqrt{5} + \sqrt{3}$

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2、在 $△ A B C$ 中， $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ， $a = 2$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，若 $△ A B C$ 有两个解，则 $b$ 的值可以为（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\sqrt{5}$

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3、 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 平面内一点，且 $\vec{P B} \cdot \vec{B C} = - \frac{1}{2}, \vec{P C} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}, O 、 H$ 分别为 $△ A B C$ 的外心和内心，当 $tan ∠ B A C$ 的值最大时， $O H$ 的长度为（）

A、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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4、已知 $\sqrt{2} tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{cos (α + \frac{π}{4})}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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5、柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经选入国家非物质文化遗产名录．如图，若柳条编织的米斗可近似看作上底面圆半径为2，下底面圆半径为1，体积为 $14 π$ 的圆台，则该圆台的侧面积为（）

A、 $3 \sqrt{37} π$ B、 $6 \sqrt{37} π$ C、 $(3 \sqrt{37} + 1) π$ D、 $(3 \sqrt{37} + 4) π$

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6、要得到函数 $y = \frac{1}{2} sin 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} cos 2 x$ 的图象，只需将函数 $y = {cos}^{2} x - {sin}^{2} x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度

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7、点 $M$ 满足向量 $2 \vec{O M} = 3 \vec{O A} - \vec{O B}$ ，则点 $M$ 与 $A B$ 的位置关系是（）

A、点 $M$ 为线段 $A B$ 的中点 B、点 $M$ 在线段 $A B$ 延长线上 C、点 $M$ 在线段 $B A$ 的延长线上 D、点 $M$ 不在直线 $A B$ 上

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8、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 1)$ B、 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(2, 4)$

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9、已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $∠ A C B$ 的平分线交AB于点D， $A D = 2 D B$ .平面α过直线AB，且与 $△ A B C$ 所在的平面垂直.

(1)、求直线CD与平面 $α$ 所成角的大小；

(2)、设点 $E \in α$ ，且 $∠ E C D = 30 °$ ，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有 $∠ P T C = ∠ Q T C$ ？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.

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11、定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列 $1, 4, 3, 8, 5$ ；第二次“和扩充”后得到数列 $1, 5, 4, 7, 3, 11, 8, 13, 5$ .设数列 $a, b, c$ 经过 $n$ 次“和扩充”后得到的数列的项数为 $P_{n}$ ，所有项的和为 $S_{n}$ .

(1)、若已知数列 $3, 4, 5$ ，求 $P_{2}, S_{2}$ ；

(2)、求不等式 $P_{n} \geq 2049$ 的解集；

(3)、是否存在不全为0的数列 $a, b, c (a, b, c \in R)$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 为等差数列？请说明理由.

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12、设函数 $f (x) = \ln x, g (x) = \frac{m (x + n)}{x + 1} (m > 0)$ ．
（1）当 $m = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线互相垂直，求 $n$ 的值；
（2）若函数 $y = f (x) - g (x)$ 在定义域内不单调，求 $m - n$ 的取值范围；
（3）是否存在正实数 $a$ ，使得 $f (\frac{2 a}{x}) \cdot f (e^{a x}) + f (\frac{x}{2 a}) \leq 0$ 对任意正实数 $x$ 恒成立？若存在，求出满足条件的实数 $a$ ；若不存在，请说明理由．

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin \frac{A}{2} + cos A = 1, a c sin A + 4 sin C = 4 c sin A$ ．

(1)、求边长 $a$ 和角 $A$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积的最大值，并判断此时 $△ A B C$ 的形状．

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14、如图所示，四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形，平面 $S C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ S D C = 90 °$ ，点 $M$ 是线段 $S C$ 的中点，点 $N$ 在线段 $S B$ 上，且 $M N ⊥ S B$ .

(1)、求证： $S A / /$ 平面 $M B D$ ；

(2)、若 $∠ S C D = 45 °$ ， $A D = 2 C D = 4$ ，求平面 $D M N$ 与平面 $B D C$ 所成的角余弦值.

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15、设 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $\{b_{n}\}$ 是递增的等差数列， $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 1$ ， $S_{4} = a_{1} + a_{3}$ ， $a_{2} = b_{1} + b_{3}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式

(2)、求证： $\frac{b_{n + 2}}{b_{n} (b_{n} + 1) a_{n + 1}} = \frac{1}{a_{n} b_{n}} - \frac{1}{a_{n + 1} b_{n + 1}}$ ；

(3)、设 $c_{n} = \frac{b_{n + 2}}{b_{n} (b_{n} + 1) a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $M_{n}$ .

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16、 $Δ A B C$ 的边 $B C, A C, A B$ 的长分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $c = 8$ ，则 $\frac{\sin 2 A}{2 \sin C} =$ .

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17、已知函数 $f (x) = A \sin (π x + φ)$ 的部分图象如图所示，点 $B$ ， $C$ 是该图象与 $x$ 轴的交点，过点 $C$ 的直线与该图象交于 $D$ ， $E$ 两点，则 $(\overset{⃑}{B D} + \overset{⃑}{B E}) \cdot (\overset{⃑}{B E} - \overset{⃑}{C E})$ 的值为．

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18、已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的重心， $cos A = \frac{1}{5}$ ， $A O = 2$ ，则（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} \leq 3$ C、 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $3 \sqrt{6}$ D、 $a$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$

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19、设 $a$ 为正实数，且 $a \neq 1$ ，已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (2 a - 1) x + 3 a, x < 0 \\ a^{x}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，则使得该函数在 $R$ 上单调递减的充分条件可以是（）

A、 $\frac{2}{5} \leq a < \frac{1}{2}$ B、 $0 < a < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3} < a < \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3} \leq a < \frac{1}{2}$

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20、下列说法正确的有（）

A、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定为“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ ” B、若 $10^{a} = 4 ， 10^{b} = 25$ ，则 $a + b = 2$ C、若幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 3}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上是增函数，则 $m > 3$ 或 $m < - 1$ D、在同一平面直角坐标系中，函数 $y = 2^{x}$ 与函数 $y = \log_{2} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称

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