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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d \neq 0$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比 $q \neq 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $d > 0$ ，则 $\{a_{n}\}$ 单调递增 B、若 $q > 1$ ，则 $\{b_{n}\}$ 单调递增 C、 $\{a_{n}^{2}\}$ 可能为等差数列 D、 $\{|b_{n}| + 1\}$ 可能为等比数列

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2、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线 $F_{2} P$ 与直线 $F_{1} B$ 交于点Q，若 $\vec{Q F_{1}} = 2 \vec{Q B}$ ，且 $∠ Q F_{1} F_{2} = ∠ Q P B$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为2c，直线l： $3 x + 4 y + 3 c = 0$ 与双曲线C的右支交于点P，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{8 c}{15}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{3}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{5}{4} x$

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4、对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第 $n$ 层货物的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{19} =$ （）

A、210 B、209 C、211 D、207

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5、若直线 $2 x + (m - 1) y + 4 = 0$ 与 $m x + 3 y + 6 = 0$ 互相平行，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、3 C、 $- 2$ 或3 D、 $- 3$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = sin (\frac{n π}{2} + \frac{π}{6})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2025} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、已知点 $M$ 是点 $N (6, 7, 8)$ 在坐标平面 $x O z$ 内的射影，则 $|\vec{O M}| =$ （）

A、 $\sqrt{85}$ B、10 C、 $\sqrt{113}$ D、100

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8、已知数列 $1, - 3, 5, - 7, 9, \dots$ ，则该数列的第211项为（）

A、 $- 421$ B、421 C、 $- 423$ D、423

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9、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 4 a x + 5, x \leq 2 \\ 2 a x + 1, x > 2 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, - 1]$ B、 $[- 2, 0)$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $[- 1, 0)$

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10、已知函数 $f (x) = a x - \ln (\ln x)$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{e}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in [e, + \infty)$ ，都有 $f (x) + \ln a \geq 0$ 成立，求a的取值范围．

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{a x} + ln x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上是增函数，求正实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的最大值和最小值；

(3)、当 $a = 1$ 时，对任意的正整数 $n (n > 1)$ ，求证： $f (\frac{n}{n - 1}) > 0$ .

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{5}$ ， $a_{14}$ 成等比数列， $S_{5} = 25$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，记 $b_{n} = 2^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项的和 $T_{n}$ ．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} - a_{n} = 2 n (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{a_{n} - n^{2}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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14、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{1}{2} x^{2}$ ， $(a \in R)$ ，在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = x + 1$ 平行.
（1）求实数 $a$ 的值；
（2）求函数 $f (x)$ 的极值.

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15、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $4 S_{3} = S_{2} + S_{6}, a_{2} = 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n}^{\frac{1}{a_{n}}}$ ，当 $b_{n}$ 最大时， $n$ 的值为.

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16、有4人到甲､乙､丙三所学校去应聘，若每人恰被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为.（用数字作答）

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17、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 是递增的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且满足 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{5} = b_{5}$ ，则（）

A、 $a_{6} > a_{3}$ B、 $b_{3} > b_{1}$ C、 $a_{3} > b_{3}$ D、 $a_{6} < b_{6}$

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18、高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（）

A、42种 B、96种 C、120种 D、144种

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19、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 27$ ， $a_{5} = \frac{1}{3}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $3$ 或 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 9$ 或 $9$ D、 $9$

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20、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 4$ .

(1)、证明： $a b \geq \frac{1}{2}$

(2)、求 $2 a + b$ 的最小值.

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