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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x - 1 - ln x$ ， $a \in R .$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 与函数 $g (x) = e^{x} - a x - 1$ 有相同的最小值，求a的值；

(3)、证明：对于任意正整数n， $(1 + \frac{1}{2!}) (1 + \frac{2}{3!}) \dots \dots (1 + \frac{n}{(n + 1)!}) < e$ （ $e$ 为自然对数的底数 $) .$

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2、某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的顾客，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.

(1)、当进行完3轮游戏时，总分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、若累计得分为 $i$ 的概率为 $p_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，初始分数为0分，记 $p_{0} = 1$
（i）证明：数列 $\{p_{i} - p_{i - 1}\} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ 是等比数列；
（ii）求活动参与者得到纪念品的概率.

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3、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ $(n \in N^{*})$ ， $S_{9} = 45$ ， $a_{2} + a_{3} = 5$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{2024 - a_{n}}{a_{n + 1}}$ $(n \leq 2024, n \in N^{*})$ ，记 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2024}$ $.$

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4、如图，边长为2的等边 $△ P D C$ 所在的平面垂直于矩形 $A B C D$ 所在的平面， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $P D ⊥ B C$ ；

(2)、若 $N$ 为直线 $P A$ 上一点，且 $M N ⊥ P A$ ，求直线 $D N$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值．

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5、已知 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{x^{2}})}^{n} (n \in N^{*}, a \neq 0)$ 的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 $1.$

(1)、求实数a和n的值；

(2)、求展开式中系数最小的项．

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6、甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷 $($ 分出胜者算一场 $) .$ 若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为.

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7、若直线 $x - y = 1$ 与直线 $(m + 3) x + m y - 8 = 0$ 平行，则 $m =$ ，它们之间的距离为.

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8、已知随机变量 $ξ \sim N (1, σ^{2})$ ，且 $P (1 < ξ \leq 1.5) = 0.34$ ，则 $P (ξ > 1.5) =$ .

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9、一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（）

A、从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为 $ξ$ ，则数学期望 $E (ξ) = \frac{15}{8}$ B、每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为 $η$ ，则方差 $D (η) = \frac{45}{64}$ C、从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 $E (X) = \frac{8}{3}$ D、每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望 $E (Y) = \frac{1}{3}$

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10、如图，直线 $y = k x + b$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切于两点，则 $h (x) = f (x) - k x$ 有（）

A、2个极大值点 B、3个极大值点 C、2个极小值点 D、3个极小值点

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11、随机变量X的分布列如下：
X
$- 1$
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则 $P (X = 1)$ 可以为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12、已知 $7^{m} = 11$ ， $a = 9^{m} - 13$ ， $b = 5^{m} - 9$ ，则（）

A、 $a > b > 0$ B、 $a > 0 > b$ C、 $b > a > 0$ D、 $b > 0 > a$

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13、设 ${(x^{2} - 3 x - 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x +$ … $+ a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、 $- 800$ B、 $- 640$ C、800 D、640

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14、函数 $y = c o s (\sqrt{x})$ 的导函数为（）

A、 $y^{'} = - \frac{1}{2 \sqrt{x}} s i n (\sqrt{x})$ B、 $y^{'} = - s i n (\sqrt{x})$ C、 $y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} s i n (\sqrt{x})$ D、 $y^{'} = \frac{2}{\sqrt{x}} s i n (\sqrt{x})$

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15、8个人分成3人、3人、2人三组，共有（）种不同的分组方法.

A、1120 B、840 C、560 D、280

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16、4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）

A、6 B、24 C、64 D、81

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17、 $A_{5}^{3} - C_{6}^{3}$ 的值是（）

A、20 B、40 C、 $- 110$ D、 $- 10$

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18、已知函数 $f (x) = 2 a \ln x + \frac{3}{4} x^{2} - (a + 3) x$ （ $a \in R$ ）.

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = - x + b$ ，求a和b的值；

(2)、当 $a \neq 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = - \frac{9}{4}$ 时，证明：对于任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, 1)$ ，有 $f (x_{1} + x_{2}) < f (x_{1}) + f (1 + x_{2})$ .

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{7} = 70$ ， $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $b_{2} = a_{6}$ ， $b_{2} + b_{3} = 80$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、求 $\sum_{i = 1}^{2^{n}} {(- 1)}^{i} a_{i}^{2}$ ；

(3)、记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}}$ ，若 $λ \geq \frac{a_{n} - 4}{c_{n}^{2} - c_{2 n}}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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20、已知直线 $x = 2$ 经过椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、椭圆C的下顶点为A，P是椭圆C上一动点，直线AP与圆O： $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 相交于点M（异于点A），M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q（异于点A）.设直线MN，PQ的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试探究当 $k_{2} \neq 0$ 时， $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值，并说明理由.

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