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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 2 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、 $\sqrt{5}$

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2、已知集合 $A = \{1 - a, a^{2} - 2 a - 1\}$ ，且 $2 \in A$ ，则 $a =$ .

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3、已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成绩，将他们的测试成绩(满分：100分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下频数分布表.
成绩/分
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
10
15
20
30
15
10
（1）求这100名学生的体能测试平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
（2）在这100名学生中，规定：测试成绩不低于80分为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关？
优秀
非优秀
总计
男生
30
女生
50
总计
（3）根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X近似服从正态分布N(μ，14.31²)，其中μ近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少人？
参考公式及数据：X~N(μ，σ²)，P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X<μ+2σ)≈0.9545；
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d.
P(K²≥k₀)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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4、某革命老区县因地制宜的将该县打造成“生态水果特色小县”.该县某水果树的单株产量 $φ$ （单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系： $φ (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 30, 0 \leq x \leq 3 \\ 43 - \frac{4}{x - 2}, 3 < x \leq 6 \end{array}$ ，且单株施用肥料及其它成本总投入为 $10 x$ 元.已知这种水果的市场售价为10元/千克.在国务院关于新时代支持革命老区振兴发展的意见，支持发展特色农业产业的保障下，该县水果销路畅通.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

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5、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若对满足 $x_{2} - x_{1} = t (t > 0)$ 的任意 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，均有 $f (x_{2}) - f (x_{1}) > t$ ，则称函数 $y = f (x)$ 具有“ $P (t)$ 性质”，已知 $f (x) = a x^{3}$ ，且函数 $y = f (x)$ 具有 $P (1)$ 性质，则实数 $a$ 的取值范围为．

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6、已知函数 $f (x) = x {(ln x)}^{2} - 3 x$ 在区间 $[α, β]$ 内单调递减，则 $\frac{β}{α}$ 的最大值为．

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7、当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = \cos x$ 与 $y = 2 \cos (3 x - \frac{π}{6})$ 交点的个数为．

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8、函数 $f (x) = 2 \sin (2 ω x + \frac{π}{3}) (0 < ω < 1)$ 的图象如图所示，将其向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = \frac{1}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、函数 $y = g (2 x + \frac{π}{3})$ 在 $[- \frac{π}{9}, \frac{π}{9}]$ 上单调递减

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9、在 ${(\frac{3}{x^{2}} + \sqrt{x})}^{5}$ 的二项展开式中，以下判断正确的是（）

A、所有项的系数之和为1024 B、各二项式系数之和为32 C、第3项系数最大 D、常数项的值为90

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10、设 $f (x) = \frac{1}{\cos x}$ ，将 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $g (x)$ 的图像，设 $h (x) = f (x) + g (x)$ ， $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{4}]$ ，则 $h (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{6}$

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11、当 $α$ 变动时，动直线 $x cos 2 α + y sin 2 α = 4 {cos}^{2} α$ 围成的封闭图形的面积为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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12、一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（）

A、5760 B、5660 C、5642 D、5472

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13、不等式 $(x^{2} - a x - 1) (x - b) \geq 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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14、已知圆 $C$ 过 $M (- 1, 3)$ ， $N (1, 1)$ 两点，且圆心 $C$ 在直线 $2 x + y - 5 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $y = k x + 3$ 与圆 $C$ 交于A， $B$ 两点，在直线 $y = 3$ 上是否存在定点 $D$ ，使得直线 $A D$ ， $B D$ 的倾斜角互补？若存在，求出点 $D$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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15、已知 $△ A B C$ 顶点 $A (1, 2)$ ， $B (- 3, - 1)$ ， $C (3, - 3)$ .

(1)、求边BC上的高所在直线的方程；

(2)、若直线l过点A，且l的纵截距是横截距的2倍，求直线l的方程.

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16、如图，已知二面角 $α - l - β$ 的大小为 $60^{\circ}$ ， $A \in α$ ， $B \in β$ ， $C, D \in l$ ， $A C ⊥ l, B D ⊥ l$ 且 $A C = B D = 2$ ， $C D = 4$ ，则 $A B =$ .

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17、如图，点 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点，则（）

A、当 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - A A_{1} D$ 的体积为定值 $\frac{4}{3}$ B、当 $P$ 在线段 $A C$ 上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、若 $F$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P F$ 长度的最小值是 $\sqrt{5}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$

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18、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 (a_{n} - 1)$ .

(1)、求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，并求其通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .求证： $T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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19、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (x + 3)$ ，且 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上是增函数，则 $f (1)$ ， $f (\frac{5}{2})$ ， $f (\frac{7}{2})$ 的大小顺序是（）

A、 $f (1) < f (\frac{5}{2}) < f (\frac{7}{2})$ B、 $f (\frac{7}{2}) < f (1) < f (\frac{5}{2})$ C、 $f (\frac{5}{2}) < f (\frac{7}{2}) < f (1)$ D、 $f (\frac{7}{2}) < f (\frac{5}{2}) < f (1)$

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20、为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将 $2000$ 名师生的竞赛成绩（满分 $100$ 分）整理成如图所示的频率直方图．

(1)、求频率直方图中 $a$ 的值以及师生竞赛成绩的中位数 $;$

(2)、从竞赛成绩在 $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 的师生中，采用分层抽样的方法抽取 $6$ 人，再从抽取的 $6$ 人中随机抽取 $2$ 人，求 $2$ 人的成绩来自同一区间的概率．

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成绩/分	[40，50)	[50，60)	[60，70)	[70，80)	[80，90)	[90，100]
频数	10	15	20	30	15	10

P(K²≥k₀)	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	优秀	非优秀	总计
男生		30
女生			50
总计