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相关试卷

1、若 $α, β \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), \sin α, \sin β$ 为方程 $4 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两个根，则 $\tan α \tan β =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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2、设 $a > 0$ ， $b > - 1$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $8$

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3、已知公差不为0的等差数列的第3，6，10项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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4、设 $a > 0, a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = a^{x}$ 满足 $f (2) > f (3)$ ，则不等式 $\log_{a} (x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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5、设复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = x + 2 i (x \in R)$ ，若 $z_{1} z_{2} < 0$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 4$ D、 $- 8$

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6、已知集合 $A = \{x |x^{2} - a x + a^{2} - 19 = 0\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 = 0\}$ ，集合 $C = \{x |x^{2} + 2 x - 8 = 0\}$ ．

(1)、若 $A \cap B = \{2\}$ ，求实数a的值；

(2)、若 $A \cap B \neq \emptyset$ ， $A \cap C = \emptyset$ ，求实数a的值．

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7、设函数 $f (x) = \sqrt{5 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ 的定义域为集合A，集合 $B = \{x| 1 - a < x < 1 + a\}$

(1)、求集合A；

(2)、求 $f (1)$ 的值；

(3)、若 $B \subseteq A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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8、若函数 $f (x) = x^{2} - m x + 10$ 在 $(- \infty, 2)$ 上是减函数，则实数 $m$ 的取值范围是.

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9、曲线 $f (x) = x e^{x} + 2$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为．

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10、函数 $y = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x}$ 的定义域是（）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- 2, 0) \cup (0, 2]$ D、 $[- 4, 0) \cup (0, 4]$

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11、瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ，点 $B (−1,3)$ ，点 $C (4,−2)$ ，且其“欧拉线”与圆 $M : {(x +3)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ 相切，则下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的“欧拉线”方程为 $y = x −1$ B、圆 $M$ 上点到直线 $x + y +2=0$ 的最大距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、若点 $(x, y)$ 在圆 $M$ 上，则 $x + \sqrt{3} y$ 的最小值是 $−3−4 \sqrt{2}$ D、若点 $(x, y)$ 在圆 $M$ 上，则 $\frac{y −1}{x}$ 的最大值是 $7$

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12、直线 $l$ 的方程为： $(a - 2) y = (3 a - 1) x - 1$ ，若直线 $l$ 不经过第二象限，则实数 $a$ 的取值范围为（　　）

A、 $a > 2$ B、 $- 2 \leq a \leq 3$ C、 $a \geq 2$ D、 $a \geq 4$

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13、下列各组函数中，是同一个函数的有（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 与 $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (t) = \frac{t}{t^{2}}$ C、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ 与 $g (x) = |x|$ D、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$

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14、已知集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x| y = \log_{2} (x - 1)\}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 3]$ B、 $[1, 3]$ C、 $(2, 3]$ D、 $[- 1, + \infty)$

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域 $D \subseteq (0, + \infty)$ ，且对任意 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $f (x_{1}) - f (x_{2}) > {log}_{2} \frac{x_{1}}{x_{2}}$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为 $D$ 上的 $T$ 函数.

(1)、若定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $g (x)$ 为减函数，判断 $g (x)$ 是否为 $(0, + \infty)$ 上的 $T$ 函数，并说明理由；

(2)、若 $f (x)$ 为 $(0, + \infty)$ 上的 $T$ 函数，且 $f (2) = 5$ ，求不等式 $f (2 x) > {log}_{2} (32 x)$ 的解集；

(3)、若 $k (x) = ({log}_{2} x + a^{3}) {log}_{2} x$ 为 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的 $T$ 函数，求 $a$ 的取值范围.

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16、在 $n \times n$ 的方格中，我们规定：棋子从初始方格开始，每一次移动只能朝上、下、左、右四个方向移动到相邻格子，且不能移动到 $n \times n$ 方格外区域，同一格不能重复经过，走完所有格子视为“胜利”.

(1)、如图1，在 $3 \times 3$ 的方格中，用 $a_{i j}$ 表示方格位置为自上向下的第 $i$ 行，自左向右的第 $j$ 列.已知，棋子初始位置为 $a_{11}$ 格，经过一次移动来到 $a_{12}$ 格，在此基础上，试画出所有完整的能达成“胜利”的不同路线；

(2)、如图2，在两张不同的 $5 \times 5$ 的方格中，有一些格子被涂黑，视为移动过程中，不能进入.在此条件下，能否找到一种移动方法，达成“胜利”?若能，请画出路线；若不能，请说明理由 $. ($ 初始方格任意选择 $)$

(3)、在 $6 \times 6$ 的方格中，涂黑n个互不同行，也互不同列的格子后，仍能达成“胜利”，求n的最大值 $($ 初始方格任意选择 $) .$

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17、等轴双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的顶点，到其渐近线的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2} .$ 过点 $T (- 3 ， 0)$ 作斜率为 $k (k > 0)$ 的直线l，l与 $Γ$ 的左、右支分别交于点A $， B .$

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、若 $k = \frac{1}{2} ，$ 且 $λ \vec{T A} = \vec{A B} ，$ 求 $λ$ 的值；

(3)、过点A再作斜率为 $\frac{1}{k}$ 的直线交双曲线于另一点C，若满足 $\frac{S_{△ O A B}}{S_{△ T A C}} > 2 (O$ 是坐标原点 $) ，$ 求k的取值范围.

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18、已知 $a > 0 ，$ 函数 $f (x) = \frac{e^{x} (a x - 1)}{x - 1} .$

(1)、若 $a = 2 ，$ 求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上不单调，求 $a$ 的取值范围.

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中 $， A B ⊥ B C ， \sqrt{2} A B = B C = 2 ，$ 四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形，且 $∠ A B B_{1}$ 是锐角，已知点A到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $1.$

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A B C;$

(2)、求平面 $A C C_{1} A_{1}$ 与平面 $A C B_{1}$ 夹角的余弦值.

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20、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) + sin (x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} {cos}^{2} \frac{x}{2} - \sqrt{3} {sin}^{2} \frac{x}{2} .$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若锐角 $△ A B C$ 中，边AC上的高 $h = 3 ，$ 且 $f (A) = \sqrt{3} ，$ 求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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