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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (x + \frac{b}{x} + a) (e^{x} - e)$ ，当 $x > 0$ 时 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的最小值为.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{2024^{x}}{2024^{x} + 1}$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则函数 $y = [f (x) - 1]$ 的值域为.

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3、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域都为R ， $f （ x + 3 ） + f (x) = 1$ ，且 $f （ x + 1 ）$ 为偶函数， $g (x + 2) + g (- x) = 4$ ，对于 $\forall x \in [0, 2]$ 都有 $f (x) + g (x) = 2^{x} - x^{3}$ ，则（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于 $(- 1, 2)$ 对称 B、 $f (- 1) = f (3)$ C、 $f (x + 6) = f (x)$ D、 $\frac{f (0)}{g (0)} = - \frac{7}{9}$

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4、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + b = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、 $4 a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $a + b + a b$ 的最大值为 $1$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b + a}$ 的最小值为 $3$

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5、已知函数 $f (x) = 4^{x} - 4^{- x}$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上的值域为 $[k (4^{m} - 1), k (4^{n} - 1)]$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ C、 $(1, 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x) + 2 e^{x}$ 是偶函数， $y = f (x) - 4 e^{x}$ 是奇函数，则 $f (1) =$ （）

A、 $e + \frac{3}{e}$ B、 $e - \frac{3}{e}$ C、 $e^{x} + \frac{3}{e^{x}}$ D、 $0$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{4} {(x + 1)}^{2} + 1, x \leq 1 \\ x + \frac{4}{x} - 3, x ＞ 1 \end{array}$ ，若当 $x \in [m, n]$ 时， $1 \leq f (x) \leq 2$ ，则 $n - m$ 的最大值是（）

A、4 B、3 C、7 D、5

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8、“ $\frac{1}{x - 1} ＞ 1$ ”是“ $x < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、下列函数在定义域上为减函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = |1 - x|$ C、 $f (x) = 1 - 2^{x}$ D、 $f (x) = \log_{2} (x - 1)$

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10、已知集合 $A = (0, 1)$ ， $B = \{x |y = \sqrt{x - 1}\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $\{0\} \cup [1, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b， $c$ ，已知 $b \cos C = (4 a - c) \cos B$ ．

(1)、求 $\cos B$ ；

(2)、若 $a = 4, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{15}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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12、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $|3 \vec{b} - \vec{a}| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{13}$ D、5

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13、已知以点 $C$ 为圆心的圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - \frac{3}{a})}^{2} = a^{2} + \frac{9}{a^{2}} (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点N，O为坐标原点.（M，N与 $O$ 不重合）

(1)、求证： $△ M O N$ 的面积为定值；

(2)、设直线 $3 x + y - 3 = 0$ 与圆 $C$ 交于点A，B，若 $| O A | = | O B |$ ，求实数 $a$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，设P，Q分别是直线 $l : x + y + 4 = 0$ 和圆 $C$ 上的动点，求 $| P N | +$ |PQ|的最小值及此时点 $P$ 的坐标.

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14、已知 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (1, - 3), B (2, 1), C (- 1, 4)$ .

(1)、求BC边上的高所在直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 过点 $C$ ，且点A，B到直线 $l_{2}$ 的距离相等，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, 1)$ ， $\vec{c} = (- 1, x, 3)$ .

(1)、当 $|\vec{c}| = \sqrt{10}$ 时，若向量 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直，求实数 $k$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 共面，求实数 $x$ 的值.

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16、求满足下列条件的圆的标准方程.

(1)、圆心为 $(2, 3)$ ，经过点 $(1, - 1)$ ；

(2)、圆心在直线 $x = - 1$ 上，且与 $y$ 轴交于点 $A (0, 4), B (0, 2)$ .

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17、空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $2 x - y + z - 4 = 0$ ，直线 $l$ 是两平面 $2 x - y + 5 = 0$ 与 $x + 3 z - 3 = 0$ 的交线，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为.

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18、已知 $A (- 2, - 1, 1), B (2, 3, 3)$ ，则线段 $A B$ 的中点坐标为.

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19、下列圆中与圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 相切的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 4)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 1$

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20、已知直线 $l$ 过点 $(1, 3)$ ，且在 $x$ 轴上的截距是 $y$ 轴上的截距的3倍，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $3 x + y = 0$ B、 $x + 3 y - 10 = 0$ C、 $3 x + y - 6 = 0$ D、 $3 x - y = 0$

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