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相关试卷

1、已知 $f (x) = (k^{2} + 2 k + 2) x^{2 k + 1} + m - 3$ 是幂函数，则 $f (m) =$ （）

A、3 B、 $\frac{2}{3}$ C、6 D、 $\frac{1}{3}$

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、如图，过点 $O$ 的直线 $l$ （异于 $y$ 轴）与 $C$ 交于点P，Q，过左焦点 $F$ 作直线PQ的垂线交圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 于点M，N，垂足为 $T$ .

①若点 $A (- 4, 0)$ ，设直线AM，AN的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②记 $△ P T N, △ Q T M$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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3、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + k x - 2 y + k^{2} = 0$ ， $k \in R$ ，则（）

A、当 $k = 0$ 时， $C$ 的面积是 $π$ B、实数 $k$ 的取值范围是 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ C、点 $(0, 1)$ 在 $C$ 内 D、当 $C$ 的周长最大时，圆心坐标是 $(0, - 1)$

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4、圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ 的圆心坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(4, - 2)$

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5、三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数 $y = A x^{2} + \frac{B}{x}$ $(A > 0, B > 0)$ 的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ 的图象，所以也称 $f (x)$ 的图象为牛顿三叉戟曲线.

(1)、判断 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(2)、已知两个不相等的正数m，n满足： $f (m) = f (n)$ ，求证： $m n < 1$ ；

(3)、是否存在实数a，b，使得 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域是 $[3 a, 3 b]$ ？若存在，求出所有 $a, b$ 的值；若不存在，说明理由.

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6、某市轨道交通 $S 1$ 线是全国第一条制式市域铁路，运营五年来累计客运量已突破5500万．经市场调研测算， $S 1$ 线列车载客量 $p (t)$ 与发车间隔 $t$ （单位：分钟）有关．当 $4 \leq t < 16$ 时，载客量为 $k {(16 - t)}^{2} + 50 t$ （ $k$ 为常数），且发车间隔 $t = 4$ 时的载客量为344人；当 $16 \leq t \leq 20$ 时列车为满载状态，载客量为800人．

(1)、为响应低碳出行，要求载客量达到满载的一半及以上，列车才发车，则列车发车间隔至少为多少分钟？

(2)、已知甲、乙两站间列车票价为2元，发一趟车的固定支出为560元，当发车间隔为多少分钟时， $S 1$ 线列车在运营期间每分钟的收益最大，并求出最大值．

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7、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} sin x cos (x + \frac{π}{4}) + 1$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ ；

(2)、把 $y = f (x)$ 图象上的所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ ， $x \in [\frac{π}{6}, \frac{3 π}{8}]$ 的值域.

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8、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (x + 1) + {log}_{a} (1 - x)$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若 $f (\frac{1}{2}) < 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $sin α + tan α$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，且 $α + β \in (π, \frac{3 π}{2})$ ，求 $\sin β$ 的值.

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10、在 $△ A B C$ 中， $\frac{cos A}{cos B} = \frac{2}{1 - tan A tan C}$ ，则 $∠ C =$ .

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11、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上递增，且 $f (1) = 2$ ，则满足 $- 2 \leq f (x) \leq 0$ 的 $x$ 的取值范围是.

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12、计算： $8^{- \frac{2}{3}} =$ .

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13、已知整数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ ， $B = {x ∣ x = a + b$ 或 $x = a - b, a \neq b, a \in A, b \in A}$ ，若存在 $m \in B$ ，使得 $m = c k$ ， $c \in Z$ ， $k \in N^{*}$ ，则称集合 $A$ 具有性质 $M (k)$ ，则（）

A、若 $A = \{1, 2\}$ ，则 $A$ 具有性质 $M (2)$ B、若 $A = \{1, 2, 3\}$ ，则 $A$ 具有性质 $M (3)$ C、若 $n = 4$ ，则 $A$ 一定具有性质 $M (5)$ D、若 $n = 7$ ，则 $A$ 一定具有性质 $M (10)$

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14、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} - 2 x + 1, x \leq 1 \\ lg x, x > 1 \end{array}$ 存在最小值，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、0 B、-1 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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15、已知 $sin α = - \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $sin (π + α) = \frac{1}{2}$ B、 $sin (π - α) = \frac{1}{2}$ C、 $sin (\frac{π}{2} + α) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $cos (α - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$

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16、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x, y \in R$ ， $f (x) - f (y) = f (x - y) + 2 (x - y) y$ ，且 $f (6) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (3) = 9$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $\forall x \in R$ ， $f (x) + f (- x) \geq 0$

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17、已知 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ， $f (\frac{π}{3}) = 0$ ，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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18、设 $x, y \in R$ ，则“ $2^{x} > 4^{y}$ ”是“ ${log}_{2} x - {log}_{2} y > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式（）

A、 $2^{x} + 2^{- x}$ B、 $2^{x} - 2^{- x}$ C、 $\frac{1}{2^{x} + 2^{- x}}$ D、 $\frac{1}{2^{x} - 2^{- x}}$

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20、已知 $\frac{sin α - 2 cos α}{sin α + cos α} = \frac{2}{3}$ ，则 $tan α =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 4$ C、 $4$ D、 $8$

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