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相关试卷

1、下列说法中错误的为（）

A、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 1)$ 且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\vec{a} + λ \overset{⃑}{b}$ 夹角为锐角，则λ的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ B、已知 $\overset{⃑}{a} = (2, - 3)$ ， $\overset{⃑}{b} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 不能作为平面内所有向量的一组基底 C、若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 平行，则 $\overset{⃑}{a}$ 在 $\overset{⃑}{b}$ 方向上的投影数量为 $|\overset{⃑}{a}|$ D、若非零 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 的夹角是60°

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2、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1 - \cos 120^{°}}{2}}$ B、cos² $\frac{π}{12}$ －sin² $\frac{π}{12}$ C、cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D、 $\frac{\tan 15^{°}}{1 - \tan^{2} 15^{°}}$

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3、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2 x, - 3)$ 且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、－3 B、 $- \frac{3}{4}$ C、0 D、 $\frac{3}{4}$

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4、在直角梯形ABCD中， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0, ∠ B = 30 °, A B = 2 \sqrt{3}, B C = 2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 上一点，且 $\vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，当 $x y$ 的值最大时， $| \vec{A E} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $C = 60 °$ ，则边 $A B$ 的长度等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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6、若向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (2, 2)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(- 2, - 3)$ D、 $(6, 3)$

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7、已知 $\sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 x$ 的值为

A、 $\frac{19}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{14}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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8、已知 $▱ A B C D$ 的三个顶点 $A (- 1, - 2), B (3, 1), C (0, 2)$ ，则顶点D的坐标为（）

A、 $(2, - 3)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(4, 5)$ D、 $(- 4, - 1)$

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9、为了得到函数 $y = \cos \frac{x}{5}$ 的图象，只需把余弦曲线 $y = \cos x$ 上所有的点（）

A、横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，纵坐标不变 C、纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，横坐标不变

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10、函数 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) - \frac{x}{2}$ ，则，（）

A、是偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、是偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减 C、是奇函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 D、是奇函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减

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11、已知 $m$ 为实数，直线 $l_{1} : (m + 2) x + y - 2 = 0, l_{2} : 5 x + (m - 2) y + 1 = 0$ ，则“ $l_{1} / / l_{2}$ ”是“ $m = - 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数 $n$ ，记 $f (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的个数， $g (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的和．

(1)、若数列 $a_{n} = f (3^{n})$ ， $b_{n} = g (3^{n})$ ， $c_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，
①写出 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ；
②求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、对于互不相等的素数 $p$ 、 $q$ 、 $r$ ，证明： $f (p^{3} q^{2} r) = f (p^{3}) f (q^{2}) f (r)$ ， $g (p^{3} q^{2} r) = g (p^{3}) g (q^{2}) g (r)$ ，并求 $\frac{g (2200)}{f (2200)}$ 的值．

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13、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 1 + 2 ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，若存 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 在，满足 $f (x_{1}) = - f (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} \geq 2$ ；

(3)、对任意的 $x > 0$ ， $f^{'} (x) \leq x e^{2 x} + \frac{2}{x} - ln x - 1$ 恒成立，其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，求 $a$ 的取值范围．

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14、某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的 $\frac{3}{7}$ ；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占 $\frac{1}{5}$ ．

(1)、请根据以上数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？
满意
不满意
合计
上班族
非上班族
合计

(2)、该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数 $X$ 的分布列和数学期望．
附：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{b c}{3 sin B}$ ， $tan A tan B = 4$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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16、若直线 $y = k x$ 与曲线 $y = ln x + \frac{1}{2 x}$ 相切，则 $k =$ ．

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17、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (1, 2)$ ， $B (3, 1)$ ， $C (5, m)$ ，且 $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，则 $m =$ ．

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18、已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，则下列命题中正确的是（）

A、1是 $f (x)$ 的极大值 B、当 $- 1 < a < 0$ 时， $f (a - 1) < f (a)$ C、当 $a > 2$ 时， $f (x)$ 有且仅有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ D、若 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{1}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = 0$

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19、已知 $a$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + 2 b + 6$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值为18 B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为36 C、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$ D、 $a + b$ 的最小值为 $3 + 4 \sqrt{2}$

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20、已知直线 $a$ ， $b$ 与平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，能使 $α ⊥ β$ 的充分条件是（）

A、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ B、 $α / / γ$ ， $β ⊥ γ$ C、 $α \cap β = b$ ， $a ⊥ b$ ， $a \subset α$ D、 $a / / b$ ， $b ⊥ β$ ， $a \subset α$

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	满意	不满意	合计
上班族
非上班族
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828