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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (x, y)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ，从6张大小相同分别标有号码 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 的卡片中，有放回地抽取两张， $x$ 、 $y$ 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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2、给定数组 $5, 4, 3, 5, 3, 2, 2, 3, 1, 2$ ，则错误的是（）

A、中位数为3 B、标准差为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、众数为2和3 D、第85百分位数为4

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3、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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4、若直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $α$ ，在 $y$ 轴上的截距为 $b$ ，则（）

A、 $α = \frac{5 π}{6}$ ， $b = 1$ B、 $α = \frac{2 π}{3}$ ， $b = - 1$ C、 $α = \frac{2 π}{3}$ ， $b = 1$ D、 $α = \frac{5 π}{6}$ ， $b = - 1$

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5、某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（）

A、1万件 B、18万件 C、19万件 D、20万件

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6、在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（）

A、与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B、与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C、与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D、与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定

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7、数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为 $n (n \in N)$ ， n次扩充后的新数列记为 $\{a_{n}\}$ ，项数记为 $P_{n}$ ，所有项的和记为 $S_{n}$ ．扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列 $\{a_{0}\} = \{a, b, c\}$ 经过一次扩充后得到数列 $\{a_{1}\} = \{a, a + b, b, b + c, c\}$ ， $P_{1} = 5$ ， $S_{1} = 2 a + 3 b + 2 c$ ．已知数列 $\{a_{0}\} = \{- 2, 1, 2\}$ ．

(1)、求 $\{a_{3}\}$ ， $P_{3}$ ， $S_{3}$ ；

(2)、求 $P_{n}$ ， $S_{n}$ ；

(3)、求数列 $\{P_{n} \log_{3} S_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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8、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P (\sqrt{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ 到两焦点的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程．

(2)、不经过点 $Q (2, 0)$ 的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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9、图1是直角梯形ABCD， $A B / / C D$ ， $∠ D = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $D C = 3$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $D E = 1$ ，以 $B E$ 为折痕将 $△ B C E$ 折起，使点 $C$ 到达点 $C_{1}$ 的位置，且二面角 $A - E B - C_{1}$ 的平面角为 $120^{°}$ ，如图2．

(1)、证明： $A C_{1} ⊥ B E$ ．

(2)、求平面 $C_{1} A D$ 与平面 $C_{1} B E$ 夹角的余弦值．

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为整数，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 95$ ， $S_{47} > 0$ ， $S_{49} < 0$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{(a_{n} - 90) (a_{n + 1} - 90)}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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11、已知动点M到点 $(- 10, 0)$ 的距离比它到直线 $x - 12 = 0$ 的距离小2，记动点M的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为 $(- 6, - 4)$ ，求直线l的方程．

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12、若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n， $φ (n)$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数 $φ (n)$ 以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如 $φ (3) = 2$ ，则 $φ (9) =$ ．若数列 $\{\frac{φ (2^{n})}{φ (3^{n})}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ ．

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13、在空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ， $\vec{O N} = 4 \vec{N B}$ ，则 $\vec{M N} =$ ．（用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 作基底）

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14、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{33} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线C上有一点P，若 $|P F_{1}| = 10$ ，则 $|P F_{2}| =$ ．

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15、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别是棱 $B_{1} C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点，P在线段 $B_{1} D_{1}$ 上，Q在底面 $A B C D$ 内，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $P - Q E F$ 的体积为定值 $\frac{1}{3}$ B、若 $P Q / /$ 平面 $C E F$ ，则点Q的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ C、存在 $P Q ⊥$ 平面 $C E F$ D、平面 $C E F$ 截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为 $[\frac{32 π}{9}, \frac{104 π}{9}]$

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16、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y = 0$ 与直线 $l$ ： $3 x - 4 y + 10 = 0$ ，点 $P$ 在圆 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $l$ 上，则（）

A、直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 B、过点 $(1, - 1)$ 的直线被圆 $C$ 截得的弦长的最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、 ${|P Q|}_{\min} = 2$ D、从点 $Q$ 向圆 $C$ 引切线，切线长的最小值是 $2 \sqrt{6}$

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d \neq 0$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比 $q \neq 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $d > 0$ ，则 $\{a_{n}\}$ 单调递增 B、若 $q > 1$ ，则 $\{b_{n}\}$ 单调递增 C、 $\{a_{n}^{2}\}$ 可能为等差数列 D、 $\{|b_{n}| + 1\}$ 可能为等比数列

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18、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线 $F_{2} P$ 与直线 $F_{1} B$ 交于点Q，若 $\vec{Q F_{1}} = 2 \vec{Q B}$ ，且 $∠ Q F_{1} F_{2} = ∠ Q P B$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为2c，直线l： $3 x + 4 y + 3 c = 0$ 与双曲线C的右支交于点P，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{8 c}{15}$ ，则双曲线C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{3}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{5}{4} x$

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20、对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第 $n$ 层货物的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{19} =$ （）

A、210 B、209 C、211 D、207

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