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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ ，圆 $F : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k (x - 2) (k \neq 0)$ 自上而下顺次与上述两曲线交于 $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ 四点，则下列各式结果为定值的是

A、 $| M_{1} M_{3} | \cdot | M_{2} M_{4} |$ B、 $| F M_{1} | \cdot | F M_{4} |$ C、 $| M_{1} M_{2} | \cdot | M_{3} M_{4} |$ D、 $| F M_{1} | \cdot | M_{1} M_{2} |$

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2、已知曲线 $y = e^{x} (a x - \ln x)$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y = k x$ ，则 $k =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $e$

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3、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, λ)$ ，若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 平行，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、6 D、 $- 6$

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4、已知集合 $A = {x | - 27 < x^{3} < 8}$ ， $B = {x | | x - 2 | \leq 3, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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5、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线方程为 $x = - 1$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ ： $y = x - 1$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，求弦长 $|A B|$ ．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (2 a + 1) x + 2 \ln x + 4 a (a > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = x^{2} - 2 x$ ，若对任意 $x_{1} \in (0, 2]$ ，均存在 $x_{2} \in (0, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 4 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ （ $a \geq 0$ ）时， $f (x)$ 的值域为 $[a, b]$ ，求 $a, b$ 的取值.

(3)、是否存在实数 $a, b$ ，使得当 $f (x)$ 的定义域为 $[a, b]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[\frac{8}{b}, \frac{8}{a}]$ ，如果存在，求出 $a, b$ 的值；若不存在，请说明理由.

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8、函数 $f (x)$ 的定义域为D，若对于任意 $x_{1} x_{2} \in D$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则称函数 $f (x)$ 在D上为非减函数.设函数 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上为非减函数，且满足以下三个条件：① $f (0) = 0;$ ② $f (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} f (x)$ ；③ $f (1 - x) + f (x) = 1$ .则 $f (\frac{2}{5}) + f (\frac{1}{5}) =$

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9、设集合 $A = \{(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 2 ， x \in N ， y \in N\}$ ，则 $A$ 中元素的个数为

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10、设 $x \in R$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.5]= 1,[- 1.5] = - 2$ ，记 ${x} = x - [x]$ .则下列说法正确的有（）

A、 $\forall x \in R, n \in Z$ ，都有 $[n + x] = n + [x]$ B、 $\forall x, y \in R$ ，都有 $[x y] \geq [x] [y]$ C、 $\forall x \in R, n \in N^{*}$ ，都有 $[\frac{x}{n}] = [\frac{[x]}{n}]$ D、若存在实数 $x$ ，使得 $[x] = 1, [x^{2}] = 2, [x^{3}] = 3, ..., [x^{n}] = n$ 同时成立，则正整数 $n$ 的最大值为4.

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11、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{4^{x} + 1} + x^{3}$ ，则不等式 $f (2 x - 1) + f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{3})$

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12、已知 $a, b, c$ 为正数，且 $a + 2 b + c = 2$ ，则 $\frac{1}{a + b} + \frac{4}{b + c}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{4}$

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13、已知命题p： $\exists x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} < 1$ ，则（）

A、命题p的否定为 $\forall x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ，且p是真命题 B、命题p的否定为 $\exists x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ，且p是真命题 C、命题p的否定为 $\forall x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ，且p是假命题 D、命题p的否定为 $\forall x < 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ， p是假命题

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14、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ . 现已画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴左侧的图象，如图所示：

(1)、请补全函数 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、根据图象写出函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、求出函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上的解析式．

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15、“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 $P (x, y)$ 是阴影部分（包部边界）的动点．则 $\frac{y}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、-1 B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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16、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, 2)$ 和 $B (5, - 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $2 x + y = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、圆 $C$ 与直线 $4 x + 3 y - 3 = 0$ 相交于 $M ， N$ 两点，求 $| M N |$ 的值.

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17、由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合 $A$ ，先从集合 $A$ 中随机取一个数 $a$ ，取出后把 $a$ 放回集合 $A$ ，然后再从集合 $A$ 中随机取出一个数 $b$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{1}{3}$ 的概率为．

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18、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则（）

A、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时， $A P = \frac{2 \sqrt{14}}{3}$ B、直线 $A_{1} P$ 与 $B D$ 所成的角不可能是 $\frac{π}{6}$ C、若 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C}$ ，则二面角 $B - A_{1} P - B_{1}$ 平面角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时，点 $D_{1}$ 到平面 $A_{1} B P$ 的距离为 $\frac{2}{3}$

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19、在空间直角坐标系Oxyz中， $A (1, 1, 1)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (0, 0, 1)$ ，点H在平面ABC内，则当点O与H间的距离取最小值时，点H的坐标是（）

A、 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ C、 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

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20、设 $A (- 2, 3), B (1, 2)$ ，若点 $P (x, y)$ 在线段 $A B$ 上，则 $\frac{y + 1}{x}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, 3]$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(- \infty, - 2]\cup[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$

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