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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x - 18 \leq 0\}, B = \{x | 2 m - 3 \leq x \leq m + 2\}$ .
（1）当 $m = 0$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；
（2）若 $B \cap (∁_{R} A) = \emptyset$ ，求实数m的取值范围.

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2、已知a，b为正实数，则 $\frac{a}{a + b} + \frac{b}{2 a + b}$ 的最小值为．

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4$ ．设命题 $p$ ：“关于 $x$ 的不等式 $f (f (x)) < 0$ 解集为空集”，则命题 $p$ 的必要条件可以是（）

A、 $a \leq - 4$ B、 $a \leq - 5$ C、 $a \leq - 6$ D、 $a \leq - 7$

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4、下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $f (x) = x - 1$ 与 $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ D、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (t) = \frac{1}{t^{0}}$

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5、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{a}{b} > 1$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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6、函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则关于x的不等式 $x \cdot f (x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1) \cup (3, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (0, 1) \cup (2, + \infty)$

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7、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (a + 1)$ ，则 $a =$ （）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、设 $x \in R$ ，则“ $0 < x < 3$ ”是“ $|x - 1| < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、命题“ $\forall x > 2, x^{2} + 2 > 6$ ”的否定（）

A、 $\exists x \geq 2, x^{2} + 2 > 6$ B、 $\exists x \leq 2, x^{2} + 2 \leq 6$ C、 $\exists x \leq 2, x^{2} + 2 > 6$ D、 $\exists x > 2, x^{2} + 2 \leq 6$

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10、若 $m^{2024} = n$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ），则（）

A、 $\log_{m} n = 2024$ B、 $\log_{n} m = 2024$ C、 $\log_{2024} m = n$ D、 $\log_{2024} n = m$

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (2, \sqrt{2})$ ，且C的右焦点为 $F (2, 0)$ ．

(1)、求C的方程：

(2)、设过点 $(4, 0)$ 的一条直线与C交于 $P, Q$ 两点，且与线段AF交于点S．
（i）若 $|A S| = |F S|$ ，求 $|P Q|$ ；
（ii）若 $△ A P S$ 的面积与 $△ F Q S$ 的面积相等，求点Q的坐标．

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12、已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{a x^{2} - 4 x + 3}$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间

(2)、若 $f (x)$ 有最大值3，求 $a$ 的值

(3)、若 $f (x)$ 的值域是 $(0, + \infty)$ ，求 $a$ 的值

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}} - a (2 x - 1) - b$ ，其中 $a, b$ 是实数.

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 不具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a + b$ 的最小值.

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14、已知两点 $A (1, - 3)$ ， $B (- 2, 1)$ ，若沿 $y$ 轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后 $A$ ， $B$ 两点间的距离是（）

A、3 B、5 C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{21}$

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15、对于区间 $[a, b] (a < b)$ ，若函数 $y = f (x)$ 同时满足：①在 $[a, b]$ 上是单调函数，②函数 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 的值域是 $[a, b]$ ，则称区间 $[a, b]$ 为函数的“保值”区间.

(1)、求函数 $f (x) = x^{2}$ 的所有“保值”区间；

(2)、判断函数 $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ 是否存在“保值”区间，并说明理由；

(3)、已知函数 $h (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 有“保值”区间 $[m, n]$ ，当 $n - m$ 取得最大值时求 $a$ 的值.

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16、已知函数 $f (x) = x + \frac{k}{x}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、当 $k < 0$ 时，函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增 C、当 $k > 0$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{k}$ D、若对 $\forall x \in [1, + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 1$ ，则 $k \geq 0$

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17、定义：对于定义在 $D_{1}$ 上的函数 $y = f (x)$ 和定义在 $D_{2}$ 上的函数 $y = g (x)$ 满足：存在 $x_{0} \in D_{1} \cap D_{2}$ ，使得 $f (x_{0}) g (x_{0}) \geq 0$ ，我们称函数 $h (x) = \sqrt{f (x) g (x)}$ 为函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 的“均值函数”.

(1)、若 $f (x) = 2 x + 3, g (x) = a - x$ ，函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 的均值函数是偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{k x^{2} - 3 k x + 4}}$ ， $g (x) = - x^{2} + 3 x - 2$ ，且存在函数 $f (x)$ 和函数 $g (x)$ 的“均值函数”，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} - 1}$ ， $x \in (0, 1)$ ， $g (x)$ 是 $f (x)$ 和 $f (1 - x)$ 的“均值函数”，求 $g (x)$ 的值域.

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18、已知奇函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{3^{x} + 1}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并加以证明；

(2)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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19、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 2}{x + 1} < 0\}$ ， $B = \{x |k < x < 2 - k\}$ ．
（1）当 $k = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；
（2）若 $A \cap B = B$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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20、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = f (x) + f (- x), f (x + 2) = - f (x)$ ，且 $f (x)$ 在 $[- 1, 0]$ 上是增函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (2) = f (0)$ B、 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上是减函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 2, 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称

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