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相关试卷

1、复数 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ， i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{5}$ B、z的共轭复数为 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、z的实部与虚部之和为2 D、z在复平面内的对应点位于第一象限

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2、下列说法错误的是（）．

A、过三个点有且只有一个平面 B、已知直线 $l, m$ ，平面 $α, β$ ， $l ∥ β$ ， $m ∥ β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset α$ ，则 $α ∥ β$ C、已知直线 $l, m$ ，平面 $α$ ， $m ∥ l$ ， $l ∥ α$ ，则 $m ∥ α$ D、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

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3、在 $△ A B C$ 中，已知 $a + b = \frac{a}{\tan A} + \frac{b}{\tan B}$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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4、已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5、如图所示， $△ A B C$ 中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 $\overset{⃑}{B E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{6} \overset{⃑}{B C}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{B C}$ C、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{B C}$ D、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{6} \overset{⃑}{B C}$

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6、已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{i}{1 - i} =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 i}{2}$ B、 $\frac{- 1 + i}{2}$ C、 $\frac{2 + i}{2}$ D、 $\frac{1 + 2 i}{2}$

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7、已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 $(2 a - c) c o s B - b c o s C = 0$ ．

(1)、求角B；

(2)、若b＝2，求 $a + c$ 的取值范围．

(3)、若b＝2，求三角形ABC面积的最大值．

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8、已知 $△ A B C$ 中， $A C = 1, B C = 2, ∠ A B C = 30 °$ ，且边 $A B, B C$ 上的中线 $C E, A D$ 交于点 $M$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $\cos ∠ A M C$ 的值.

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9、在 $△ A B C$ 中， $\overset{⃑}{C D} = 2 \overset{⃑}{D B}$ ，设 $\overset{⃑}{A D} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A C}$ （ $x$ 、 $y$ 为实数）.
（1）求 $x$ ， $y$ 的值；
（2）若 $\overset{⃑}{A B} = (1 ， 3)$ ， $\overset{⃑}{A C} = (4 ， 3)$ ，求 $\overset{⃑}{A D} \cdot \overset{⃑}{B C}$ .

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10、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} a x + a - 1, x > 0, \\ - x^{2} - (a - 2) x, x \leq 0 \end{matrix}$ 是 $R$ 上的单调递增函数，则实数a的取值范围是.

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11、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形 $A B C D$ 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为 $D F$ 的中点，则（）

A、 $\cos ∠ E A D = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $|\overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{A E}| = \sqrt{17}$ C、 $\overset{⃑}{A E} = \frac{4}{5} \overset{⃑}{A D} + \frac{2}{5} \overset{⃑}{A B}$ D、 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A E} = \frac{8}{5}$

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12、在 $Δ A B C$ 中，，若O为 $Δ A B C$ 内部的一点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，若 $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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14、数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 |y|$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）

A、曲线 $C$ 围成的图形有 $6$ 条对称轴 B、曲线 $C$ 围成的图形的周长是 $4 \sqrt{2} π$ C、若 $T (a, b)$ 是曲线 $C$ 上任意一点， $|4 a + 3 b - 18|$ 的最小值是 $11 - 5 \sqrt{2}$ D、曲线 $C$ 上的任意两点间的距离不超过 $6$

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15、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x + 1$ ，则（）

A、当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $1 - \frac{1}{e}$ B、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值点为 $x = 1$ C、存在实数 $a$ 使得函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增 D、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为 $a \leq 1$

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16、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (- 3, 0)$ ， $B (2, 1)$ ， $C (- 2, 3)$ ，求：

(1)、 $B C$ 边上中线 $A D$ 所在直线的方程；

(2)、 $B C$ 边的垂直平分线 $D E$ 的方程；

(3)、 $△ A B C$ 的外接圆方程．

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17、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 2, - 1)$ ， $\vec{b} = (3, 0, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $(\frac{3 \sqrt{10}}{2}, 0, \frac{\sqrt{10}}{2})$ B、 $(\frac{10}{3}, - \frac{10}{3}, - \frac{5}{3})$ C、 $(\frac{3}{2}, 0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{10}{9}, - \frac{10}{9}, - \frac{5}{9})$

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18、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对 $\forall x$ ， $y > 0$ ，都有 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y) + 1$ ；且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 1$ ．已知 $f (2) = 2$ ．

(1)、求 $f (1)$ ， $f (4)$ ；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、解不等式： $f (x + 2) + f (4 - x) < 5$ ．

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19、国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象 $.$ 已知某火车站候车厅，候车人数与时间 $t$ 相关，时间 $t ($ 单位：小时 $)$ 满足 $0 < t ⩽ 24$ ， $t \in N .$ 经测算，当 $16 \leq t \leq 24$ 时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为 $5000$ 人，当 $0 < t < 16$ ，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与 $t (16 - t)$ 成正比，且时间为 $6$ 点时，候车人数为 $3800$ 人，记候车厅候车人数为 $f (t)$ ．

(1)、求 $f (t)$ 的表达式，并求当天中午 $11$ 点时，候车厅候车人数 $;$

(2)、铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为 $P = \frac{f (t) - 3000}{t} + 400$ ，则当 $t$ 为何值时需要提供的免费面包数量最少.

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20、已知 $f (x) = \frac{a - 3^{x + 1}}{3^{x} + b} (a > 0, b > 0)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数．

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) \cdot (3^{x} + 1) + 9^{x} - 1$ 在 $x \in [0, 1]$ 上的值域．

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