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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{5}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{70}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2、下列函数中，最小正周期为 $π$ 且奇偶性与函数 $f (x) = x^{5}$ 相同的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = - \sin 2 x$ C、 $y = \cos 2 x$ D、 $y = \sin | x |$

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 5$ ， $b = 4$ ， $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{13 \sqrt{6}}{4}$ C、 $5 \sqrt{7}$ D、 $6 \sqrt{6}$

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4、在复平面内，复数 $(1 - 2 i) (3 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、设集合 $A = \{x| - 2 < x \leq 1\}$ ， $B = \{x| - 1 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x| - 1 \leq x \leq 1\}$ B、 $\{x| - 1 < x < 1\}$ C、 $\{x| - 2 < x < 2\}$ D、 $\{x| - 2 \leq x \leq 2\}$

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6、若对于实数 $m, n$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x + m) + f (x - m) = n f (x)$ 在函数 $y = f (x)$ 的定义域 $D$ 上有实数解 $x = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的“ $(m, n)$ 可消点”，若存在实数 $m, n$ ，对任意实数 $x \in D, x$ 均为函数 $f (x)$ 的“ $(m, n)$ 可消点”，则称函数 $f (x)$ 为“可消函数”，此时，有序数对 $(m, n)$ 称为函数 $f (x)$ 的“可消数对”．

(1)、若 $f (x) = x + 2$ 是“可消函数”，求函数 $f (x)$ 的“可消数对”；

(2)、若 $(m, 1)$ 为函数 $f (x) = sin x cos x$ 的“可消数对”，求 $m$ 的值；

(3)、若函数 $f (x) = {sin}^{2} x$ 的定义域为 $R$ ，存在实数 $x_{0} \in (0, \frac{π}{4}]$ 同时为 $f (x)$ 的“ $(\frac{π}{2}, n_{1})$ 可消点”与“ $(\frac{π}{3}, n_{2})$ 可消点”，求 $n_{1}^{2} + n_{2}^{2}$ 的最小值．

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7、意大利画家列奥纳多•达•芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数 $cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数 $sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ （ $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \dots$ ）．

(1)、计算 $cosh (2) - 2 {cosh}^{2} (1)$ 的值；

(2)、类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式 $cosh (x - y) =$ ______，并加以证明；

(3)、判断函数 $f (x) = 2 cosh (2 x) - 4 b cosh (x) + 4 b - 2$ 的零点个数，并求出零点．

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8、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) cos x + \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的值域；

(3)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $a g (x - \frac{π}{3}) - g (x + \frac{π}{6}) \geq 2$ 对任意的 $x \in [\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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9、中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是 $θ_{1} ℃$ ，环境温度是 $θ_{0} ℃$ ，那么 $t$ 分钟后茶水的温度 $θ$ （单位： $℃$ ）可由公式 $θ (t) = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中 $k$ 是常数，现有刚泡好的茶水温度是 $100 ℃$ ，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃．

(1)、求 $k$ 的值（计算结果精确到0.01）；

(2)、经验表明，当室温是 $15 ℃$ 时，刚泡好的茶水温度是 $95 ℃$ ，自然冷却至 $60 ℃$ 时引用口感最佳，刚刚泡好的茶水大约要放置几分钟才能达到最佳饮用口感？（计算结果精确到0.1）参考数据： $ln 2 \approx 0.693, ln 3 \approx 1.099$

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10、设 $y = m (m > 0)$ 与 $f (x) = 4 sin (2 x + φ)$ 图象的相邻3个公共点自左向右依次为 $A, B, C$ ，若 $5 |A B| = 7 |B C|$ ，则 $m$ 的值为．

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11、化简： $c o s 50^{\circ} (\sqrt{3} - t a n 10^{\circ}) =$ ．

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12、已知 $sin α - cos α = \frac{1}{5}, 0 \leq α \leq π$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{4}) =$ ．

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13、若 $1 < 10^{a} < 10^{b} < 10$ ，则（）

A、 $4^{a} + 5^{- b} < 4^{b} + 5^{- a}$ B、 $ln \frac{a}{b} > sin b - sin a$ C、 ${(cos a)}^{a} > {(cos b)}^{b}$ D、 $a lg b > b lg a$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |{log}_{2} x|, 0 < x < 2 \\ sin (\frac{π}{4} x), 2 \leq x \leq 10 \end{array}$ ，若存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ， $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的值可以为（）．

A、20 B、24 C、28 D、32

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15、关于 $△ A B C$ ，下列说法正确的是（）．

A、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $△ A B C$ 为非直角三角形，则 $tan A tan B tan C = tan A + tan B + tan C$ C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A > cos B$ 恒成立 D、若 $sin A + cos A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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16、已知函数 $f (x) = 4 sin ω x \cdot {sin}^{2} (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{4}) + 2 {cos}^{2} ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}]$ 上是增函数，且在 $[0, π]$ 上恰好取得一次最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）．

A、 $(0, \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{3}{4}, \frac{5}{2})$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$

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17、函数 $f (x) = π + (x - π) sin x$ 在区间 $[- \frac{5 π}{2}, \frac{9 π}{2}]$ 上所有零点之和为（）．

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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18、已知函数 $f (x) = lg (\sqrt{9 x^{2} + 1} - 3 x) + 1$ ，正实数 $a, b$ 满足 $f (2 a) + f (b - 4) = 2$ ，则 $\frac{4 b}{a} + \frac{a}{2 a b + b^{2}}$ 的最小值为（）．

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（）．

A、 $30 (\sqrt{3} - 1)$ 米 B、 $30 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 米 C、 $20 \sqrt{3}$ 米 D、 $30 \sqrt{3}$ 米

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20、声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 $y = A sin ω t$ .音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数 $y = A sin ω t$ 中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是 $f (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{4} sin 4 x + \dots$ ，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（）.

A、函数 $f (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{4} sin 4 x + \dots + \frac{1}{100} sin 100 x$ 具有奇偶性 B、函数 $f (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{4} sin 4 x$ 在区间 $[- \frac{π}{8}, \frac{π}{8}]$ 上单调递增 C、若声音甲对应函数近似为 $f (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{4} sin 4 x$ ，则声音甲的响度不一定比纯音 $h (x) = \frac{1}{2} sin 2 x$ 的响度大 D、若某声音乙对应函数近似为 $g (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x$ ，则声音乙一定比纯音 $h (x) = \frac{1}{2} sin 3 x$ 更低沉

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