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相关试卷

1、跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，令肌肉量适当地恢复正常的水平，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小孟最近给自己制定了一个218千米的跑步健身计划，第一天他跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（）

A、29天 B、28天 C、27天 D、26天

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、18 B、 $3 \sqrt{2}$ C、27 D、 $2 \sqrt{3}$

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3、若直线 $a x + y - 5 = 0$ 与直线 $y = 7 x - 2$ 垂直，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、7 D、 $- 7$

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4、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意的 $x_{0} \in D_{1}$ 都存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, 3, \dots n, n \in N^{+}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”．

(1)、试判断 $g (x) = |x| (- 2 \leq x \leq 2)$ 是否为 $f (x) = 1 + \sin x (x \in R)$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、求证： $g (x) = \cos x (0 < x < 4 π)$ 是 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} (x \in R)$ 的“4重覆盖函数”；

(3)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (2 a - 3) x + 1, x \leq 1 \\ \log_{2} x, x > 1 \end{array}$ 为 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．

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5、如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地 $A O B$ （圆心角为 $\frac{π}{3}$ ）和 $C O D$ （圆心角为 $\frac{π}{2}$ ）， $B D$ 为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域 $O E F G$ ，一块为平行四边形区域 $M N P Q$ ，已知圆的直径 $P F = 2$ 百米，且点 $P$ 在劣弧 $A B$ 上（不含端点），点 $Q$ 在 $O A$ 上､点 $G$ 在 $O C$ 上､点 $M$ 和 $N$ 在 $O B$ 上､点 $E$ 在 $O D$ 上，记 $∠ B O P = θ$ .

(1)、经设计，当 $O E - \frac{1}{2} M N$ 达到最大值时，取得最佳观赏效果，求 $θ$ 取何值时， $O E - \frac{1}{2} M N$ 最大，最大值是多少？

(2)、设矩形 $O E F G$ 和平行四边形 $M N P Q$ 面积和为 $S$ ，求 $S$ 的最大值及此时 $\cos 2 θ$ 的值.

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6、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，函数 $y = g (x)$ 与 $y = f (x)$ 互为反函数.

(1)、若函数 $y = g (m x^{2} + 2 x + 1)$ 的值域为 $R$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、求证：函数 $φ (x) = g (x) + g (x + 2) + x$ 仅有1个零点 $x_{0}$ ，且 $g (e x_{0}) < f (x_{0} + ln x_{0})$ .

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7、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \cos^{2} (\frac{π}{2} + x) - 2 \sin (π + x) \cos x - \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调增区间；

(2)、若 $f (x_{0} - \frac{π}{6}) = \frac{14}{25}, x_{0} \in [\frac{3π}{4},π]$ ，求 $\sin 2 x_{0}$ 的值．

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8、已知函数 $f (α) = \frac{\sin (α + \frac{π}{2}) \cos (\frac{3 π}{2} - α) \tan (π - α)}{\sin (α + π)}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) \cdot f (α + \frac{π}{2}) = - \frac{1}{6}$ ，且 $\frac{π}{2} \leq α \leq π$ ，求 $f (α) - f (α + \frac{π}{2})$ 的值．

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9、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) ， g (x) = f (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ ，若对任意的 $a$ ， $b \in [π - m ， m]$ ，当 $a > b$ 时， $f (a) - f (b) < g (2 a) - g (2 b)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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10、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上有最小值无最大值，则 $ω =$ .

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11、下列命题中：
①若集合 $A = \{x |k x^{2} + 2 x + 1 = 0\}$ 中只有一个元素，则 $k = 1$ ；
②已知命题p： $\exists x \in R$ ， $a x^{2} + 2 x - 1 \geq 0$ ，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是 $(- \infty, - 1)$ ；
③已知函数 $y = f (2^{- x})$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{2}, 2]$ ；
④函数 $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增；
⑤方程 $3^{|x|} = {log}_{3} (x + 3) + 2$ 的实根的个数是2.
所有正确命题的序号是.

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12、下列结论正确的是（）

A、若 $a > 0, b > 0$ ，则 $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a + b}{2}$ B、函数 $y = \sin x - \frac{2}{\sin x} (x \in (0, \frac{π}{2}))$ 的最小值为 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、函数 $f (x) = \log_{2023} [m x^{2} - (m^{2} + 1) x + m]$ 的值域为 $R$ ，则实数m的取值范围是 $R$ D、若函数 $f (x) = x^{- \frac{2}{7}}$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增.

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13、设 $α$ ， $β \in R$ ，且 $\frac{3}{2 + \sin α} + \frac{4}{2 + \sin 2 β} = 7$ ，则 $tan (α - β) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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14、设 $a = \ln 0.99$ ， $b = e^{0.99}$ ， $c = {0.99}^{e}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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15、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = A C = 2, E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $P$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E}, \vec{B F}$ ；

(2)、求 $\vec{A E} \cdot \vec{B F}$ 的值；

(3)、求 $∠ E P F$ 的余弦值．

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16、已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = 1$ ，且 $f (x + 1) - f (x) = 2 x - 1$ ， $g (x)$ 为偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $g (x) = f (x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在给定的坐标系内画出 $g (x)$ 的图象；

(3)、讨论函数 $h (x) = g (x) - t$ （ $t \in R$ ）的零点个数．

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17、已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + m x - n < 0$ 的解集为 $\{x| - 2 < x < 1\}$ .

(1)、求实数 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{m}{a} + \frac{n}{b} = 2$ ，求 $m a + n b$ 的最小值.

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18、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | =$ .

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19、甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 $p$ ，随机变量 $X$ 表示最终的比赛局数．

(1)、求随机变量 $X$ 的分布列和期望 $E (X)$ ；

(2)、若 $0 < p < \frac{1}{3}$ ，设随机变量 $X$ 的方差为 $D (X)$ ，求证： $D (X) < \frac{20}{81}$ ．

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d = 2$ .

(1)、若 $S_{10} = 100$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、从集合 $\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\}$ 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件 $A$ ，求事件 $A$ 发生的概率 $P (A)$ .

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