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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 0, 1)$ ，向量 $\vec{b} = (1, 0, \sqrt{3})$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{3}, 0, 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{3}{2})$ C、 $(1, 0, \sqrt{3})$ D、 $(\frac{3}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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2、已知集合 $A = {x | x^{2} - x = 0}$ ，则 $- 1$ 与集合 $A$ 的关系为（）

A、 $- 1 \in A$ B、 $- 1 \notin A$ C、 $- 1 \subseteq A$ D、 $- 1 ⊄ A$

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3、在空间直角坐标系中，点 $M (- 3, 1, 5)$ ，关于 $x$ 轴对称的点的坐标是

A、 $(- 3, - 1, - 5)$ B、 $(- 3, 1, - 5)$ C、 $(3, 1, - 5)$ D、 $(3, - 1, - 5)$

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4、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，该性质可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，已知函数 $g (x) = \frac{- 5 x + 15}{x - 1}$ .

(1)、函数 $g (x)$ 是否为中心对称图形？若是请用题设证明并求出对称中心，若不是请说明理由；

(2)、已知直线 $y = - \frac{20}{9} x + \frac{65}{9}$ 与函数 $y = |g (x)|$ 的图象有三个交点，设为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ ，求 $y_{1} + y_{2} + y_{3}$ 的值；

(3)、已知函数 $h (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称，当 $x \in [0, 1]$ 时， $h (x) = x^{2} - m x + m$ ，若对任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [2, 6]$ ，使得 $h (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $1, P, Q$ 分别为边 $A B, A D$ 上的点.

(1)、当 $D Q = A P = \frac{1}{3}$ 时，求 $tan ∠ P C Q$ 的值；

(2)、当 $△ A P Q$ 的周长为2时，
（i）求 $∠ P C Q$ 的大小：
（ii）设 $∠ B C P = α, S$ 为 $△ P C Q$ 的面积，求 $S$ 的最小值.

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6、设函数 $f (x) = 1 - \frac{a}{2^{x} + 1} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，证明：函数 $f (x)$ 为奇函数，并求出函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、当 $a \neq 0$ 时，探索函数 $f (x)$ 的单调性，并用函数单调性的定义给予证明.

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7、（1）化简： $f (α) = \frac{sin (2 π - α) cos (π + α) cos (\frac{π}{2} + α)}{cos (π - α) sin (- π - α) sin (\frac{9 π}{2} + α)}$ ；
（2）已知 $sin (α - β) cos α - cos (β - α) sin α = \frac{3}{5}, β$ 是第三象限角，求 $cos (β + \frac{2 π}{3})$ 的值.

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8、设 $a, b \in R, P = \{1, a\}, Q = \{- 1, - b\}$ .

(1)、当 $P = Q$ 时，求 $a - b$ 的值：

(2)、已知集合 $M = \{x ∣ x^{2} - 5 x - 6 < 0\}$ ，若 $P \subseteq M$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = |{log}_{5} x|$ ，若 $0 < n < m$ ，且 $f (m) = f (n)$ ，则 $n + 3 m$ 的取值范围是.

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10、已知 $a = 4^{0.3}, b = 3^{0.6}, c = {log}_{3} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小顺序为.

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11、若扇形的半径为 $r$ ，面积为 $\frac{π}{3} r^{2}$ ，则扇形圆心角为弧度.

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12、定义二元函数 $f (m, n) = \frac{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - m + 1)}{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times m}$ ，其中 $m$ 、 $n \in N^{*}$ ，且 $m \leq n$ ，记 $f (m, n) = C_{n}^{m}$ ，如 $C_{8}^{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{1 \times 2 \times 3} = 56$ ，则（）

A、 $C_{2024}^{4} = C_{2024}^{2020}$ B、 $C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + \dots + C_{5}^{5} = 31$ C、 $C_{2024}^{m} + C_{2024}^{m + 1} = C_{2025}^{m + 1}$ D、 $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + \dots + C_{n + 2}^{2} = C_{n + 2}^{3}$

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13、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示.则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、在区间 $[\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}]$ 单调递增 C、若方程 $f (x) = k$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $cos (x_{1} + x_{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、将 $y = f (x)$ 图象的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x) = 2 sin x$

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14、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为 $x = 1$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $\forall m \in R, a + b \geq a m^{2} + b m$ C、 $a x + c > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < 3}$ D、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |- 1 < x < \frac{1}{3}\}$

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15、把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 $θ_{1}^{\circ} C$ ，空气的温度是 $θ_{0}^{\circ} C$ ，那么 $t min$ 后物体的温度 $θ$ （单位： $^{\circ} C$ ）可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有 $75^{\circ} C$ 的物体，放在 $25^{\circ} C$ 的空气中冷却， $2 min$ 以后物体的温度降为 $50^{\circ} C$ .若将 $68^{\circ} C$ 的物体放在 $20^{\circ} C$ 的空气中冷却，则物体温度降为 $32^{\circ} C$ 所需要的冷却时间为（）

A、 $2 min$ B、 $3 min$ C、 $4 min$ D、 $6 min$

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16、函数 $f (x) = x^{2} - 2^{x}$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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17、下列正确的是（）

A、 $sin \frac{π}{12} cos \frac{π}{12} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 tan {22.5}^{\circ}}{1 - {tan}^{2} {22.5}^{\circ}} = \frac{1}{2}$ C、 ${cos}^{4} \frac{π}{8} - {sin}^{4} \frac{π}{8} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $1 - 2 {cos}^{2} {22.5}^{\circ} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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18、已知角 $α$ 的终边上有一点 $P$ 的坐标是 $(3 t, 4 t)$ ，其中 $t \neq 0$ ，则（）

A、 $α = \frac{π}{4}$ B、 $sin α = \frac{4}{5}$ C、 $cos α = \frac{4}{5}$ D、 $tan α = \frac{4}{3}$

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19、集合 $A, B$ 与对应关系 $f$ 如图所示，下列说法正确的是（）

A、若 $f (a - 1) = \frac{1}{2} f (5)$ ，则 $a = 2$ B、 $f : A \to B$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数 C、 $x \in A, y \in B$ 对应关系 $f : x \to y = \sqrt{2 x - 1}$ D、 $f : A \to B$ 的定义域为集合 $A$ ，值域为集合 $B$

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20、下列正确的是（）

A、 $a^{0} = 1$ B、若 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 1$ ，则 $a - a^{- 1} = 3$ C、 $3^{{log}_{2} 3} = 3$ D、 ${log}_{2} 3 \times {log}_{3} 4 \times {log}_{4} 5 \times {log}_{5} 2 = 1$

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