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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 4^{x}, x \geq a \\ - 2 \log_{2} x, 0 < x < a \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, \frac{1}{2}]$

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2、已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上两点 $A, B$ 满足 $|A B| = 12$ ，若线段 $A B$ 的中点 $M$ 的纵坐标的最小值为4，则 $p =$ （）

A、2 B、4 C、5 D、6

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3、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 3, ∠ B A C = 60^{\circ}$ .若 $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{7} \vec{A B} + \frac{6}{7} \vec{A C}$ B、 $\frac{6}{7} \vec{A B} + \frac{1}{7} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$

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4、若 $f (x) = sin x + \sqrt{3} cos x$ 在区间 $[- θ, θ]$ 上是增函数，则 $tan θ$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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5、已知函数 $f (x)$ 的图象如下图所示，则其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边经过点 $(- \frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7、若空间中三条不同直线 $a, b, c$ 满足 $a ⊥ b$ ，且 $b // c$ ，则直线 $a$ 与直线 $c$ 必定（）

A、平行 B、相交 C、垂直 D、异面

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8、已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $i^{7}$ 的值是（）

A、1 B、 $- 1$ C、i D、 $- i$

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9、已知点 $P_{1} (t + 1, t)$ 在抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上，按照如下方法依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, 4 \dots)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $- 1$ 的直线与抛物线 $C$ 交于另一点 $Q_{n - 1}$ ，令 $P_{n}$ 为 $Q_{n - 1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求 $t$ 的值；

(2)、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等差数列，并求 $x_{n}, y_{n}$ ；

(3)、求 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积．

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10、足球比赛积分规则为：球队胜一场积 $3$ 分，平一场积 $1$ 分，负一场积 $0$ 分．常州龙城足球队 $2024$ 年 $10$ 月将迎来主场与 $A$ 队和客场与 $B$ 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与 $A$ 队比赛：胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，平的概率为 $\frac{1}{6}$ ，负的概率为 $\frac{1}{6}$ ；客场与 $B$ 队比赛：胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，平的概率为 $\frac{1}{6}$ ，负的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且两场比赛结果相互独立．

(1)、求常州龙城队 $10$ 月主场与 $A$ 队比赛获得积分超过客场与 $B$ 队比赛获得积分的概率；

(2)、用 $X$ 表示常州龙城队 $10$ 月与 $A$ 队和 $B$ 队比赛获得积分之和，求 $X$ 的分布列与期望．

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11、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{c^{2}}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} = \frac{\sin C}{\sin B}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 4$ ， $\sin B + \cos B = \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{n + 2}{n} a_{n} + \cos n π, n 为奇数 \\ a_{n} + \cos n π, n 为偶数 \end{array}$ ，则数列 $\{a_{n} \cdot 2^{a_{n}}\}$ 的前2024项和为.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n} = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1}$ ，求 $S_{n}$ ．

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14、已知 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 1$ ，求：

(1)、 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时， $f (x) - 3 \geq m$ 恒成立，求实数 $m$ 的范围．

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15、已知点 $P (3 m, - m)$ $(m \neq 0)$ 为角 $α$ 终边上一点.

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ 的值；

(3)、求 $2 \sin^{2} α - \sin α \cos α - 3 \cos^{2} α$ 的值.

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16、已知集合 $A = \{x |2 x \leq 3 x + 1 \leq 2 x + 4\}$ ， $B = \{x |m + 1 \leq x - m \leq 2\}$ .

(1)、当 $m = - 2$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，若实数 $m$ 的取值范围.

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17、某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 $12 %$ ，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是年（参考数据： $lg 1.12 = 0.05$ ， $lg 1.3 = 0.11, lg 2 = 0.30)$ .

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18、化简式子 $16^{- \frac{1}{4}} - \frac{1}{\sqrt{5} - 2} + \frac{\sqrt{20}}{2} + {(\frac{1}{3})}^{{log}_{3} 2} + {log}_{4} 27 \cdot {log}_{9} 8$ 的值为.

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19、已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - 2 x + e^{2} + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小值为2 B、 $\exists x \in R$ ， $f (e) + f (x) = 4$ C、 $f (\lg 2) > f (\frac{8}{5})$ D、 $f (4^{\frac{4}{3}} - 1) < f (2^{\frac{9}{4}} - 1)$

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20、已知 $a > b > 0$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $a^{2} > a b > b^{2}$ B、若 $c \in R$ ．则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ D、 $\frac{2 a + b}{a} > \frac{a + 2 b}{b}$

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