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相关试卷

1、已知 $i$ 是虚数单位，则 $|{(\frac{\sqrt{2}}{1 - i})}^{2022} + {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{2022}| =$ .

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2、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M$ ， $N$ ， $P$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ ， $B C$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C Q} = λ \vec{C C_{1}}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ，下列说法正确的是（）

A、 $P Q / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、若 $Q$ ， $M$ ， $N$ ， $P$ 四点共面，则 $λ = \frac{1}{4}$ C、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，点 $F$ 在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内，且 $A_{1} F / /$ 平面 $A P Q$ ，则点 $F$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，由平面 $M N Q$ 分割该正方体所成的两个空间几何体为 $Ω_{1}$ 和 $Ω_{2}$ ，某球能够被整体放入 $Ω_{1}$ 或 $Ω_{2}$ ，则该球的表面积最大值为 $(10 - 6 \sqrt{3}) π$

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3、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $A = 0.5$ B、 $ω = 2$ C、 $φ = - \frac{π}{3}$ D、 $f (0) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

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4、在空间中，下列命题正确的是（）

A、若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点 B、若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 C、若点 $A$ 既在平面 $α$ 内，又在平面 $β$ 内，且 $α$ 与 $β$ 相交于直线 $b$ ，则点 $A$ 在 $b$ 上 D、用任意平面截一个圆锥，夹在这个平面和底面间的几何体是圆台

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5、半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段 $D E$ ， $B C$ 上，则 $F M + M N + A N$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{19}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{19}$

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6、已知点O是 $△ A B C$ 内部一点，并且满足 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ， $△ A O C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B O C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ （）

A、2 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、 $\cos 14 ° cos 16 ° - \cos 76 ° \sin 16 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、点P满足向量 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - \vec{O B}$ ，则点P与AB的位置关系是（）

A、点P在线段AB上 B、点P在线段AB延长线上 C、点P在线段AB反向延长线上 D、点P在直线AB外

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9、复数 $z = a^{2} - b^{2} + (a + |a|) i$ ，（ $a$ ， $b \in R$ ）为实数的充要条件是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a <0$ 且 $a = - b$ C、 $a > 0$ 且 $a \neq b$ D、 $a > 0$ 且 $a = |b|$

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10、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = q^{n} (q \neq 0)$ .对于集合 $T \subseteq N^{*}$ ，定义 $S_{T} :$ 若 $T = \emptyset$ ，则 $S_{T} = 0$ ；若 $T = \{t_{1}, t_{2}, \dots, t_{k}\}$ ，则 $S_{T} = a_{t_{1}} + a_{t_{2}} + \dots + a_{t_{k}}$ .

(1)、若 $q = 2, S_{T} = 26$ ，求集合 $T$ ；

(2)、若 $q = 2$ ，集合 $A, B \subseteq N^{*}$ ，且 $S_{A} + S_{B} = 2^{10}$ ，求 $A \cap B$ 中元素个数的可能值；

(3)、若 $0 < q < \frac{1}{2}$ ，集合 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \subseteq N^{*}$ ，对任意的 $i, j \in N^{*}, 1 \leq i < j \leq n$ ，满足 $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ ，且 $S_{A_{1}} > S_{A_{2}} > \dots > S_{A_{n}} > 0$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{S_{A_{k}}}{S_{A_{1}}} < \frac{1 - q}{1 - 2 q}$ .

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，点 $P$ 为 $△ A M N$ 的外心.
（i）若 $△ A M N$ 为等边三角形，求点 $P$ 的坐标；
（ii）若点 $P$ 在直线 $x = - \frac{1}{3}$ 上，求点 $A$ 到直线 $l$ 的距离的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = e^{a x} \ln x$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、若 $y = f (x)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为 $\frac{e}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $x = x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极小值点，证明： $f (x_{0}) < - e$ .

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13、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $∠ A^{'} A B = ∠ A^{'} A D$ 且 $A^{'} B ⊥ A C$ ，设 $A C$ 与 $B D$ 的交于点 $O$ .

(1)、证明： $A^{'} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A A^{'} = 3$ ，且 $∠ B A D = 60 °$ ，求直线 $A^{'} B$ 与平面 $A^{'} B^{'} C D$ 所成角的正弦值.

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14、甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7，

(1)、求甲同学到第三天才预约成功的概率；

(2)、记 $X$ 为甲同学预约门票的天数，求 $X$ 的分布列和期望 $E (X)$ .

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且外接圆半径为 $R = 5$ ，则 $\frac{a b c}{a^{2} + b^{2} + 2 c^{2}}$ 的最大值为.

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16、如图所示，将一个圆心角为 $120^{\circ}$ 的扇形纸板 $O A B$ 剪掉扇形 $O C D$ ，得到扇环 $A B D C$ ，现将扇环 $A B D C$ 围成一个圆台侧面.若 $O A = 2 O C = 6$ ，则该圆台的体积为.

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17、已知长为2的线段 $A B$ 的两个端点 $A$ 和 $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动，则线段 $A B$ 的中点的轨迹方程是.

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若存在常数 $T$ 与 $H$ ，且 $T > 0$ ，使得任意 $x \in R$ ，恒有 $f (x + T) = f (x) + H$ ，则称函数 $f (x)$ 是广义周期函数.下列说法正确的有（）

A、一次函数 $f (x) = k x + b$ （ $k, b$ 为常数）是广义周期函数 B、若 $f (x)$ 是广义周期函数，则存在实数 $k$ ，使得 $f (x) - k x$ 是周期函数 C、若 $f (x)$ 有两个不同的对称中心，则 $f (x)$ 是广义周期函数 D、若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 都是广义周期函数，则 $f (x) + g (x)$ 也是广义周期函数

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19、已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{3}, S_{9}, S_{6}$ 成等差数列，则（）

A、 $a_{2}, a_{5}, a_{8}$ 成等比数列 B、 $a_{2}, a_{8}, a_{5}$ 成等差数列 C、 $S_{2}, S_{5}, S_{8}$ 成等比数列 D、 $S_{2}, S_{8}, S_{5}$ 成等差数列

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20、为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量.相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量.现将这些观测数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制出如图所示的频率分布直方图，则（）

A、样本观测数据的极差不大于50 B、样本观测数据落在区间 $[65, 75)$ 上的频率为0.025 C、样本观测数据的平均数大于中位数 D、若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务

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