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相关试卷

1、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = a x - \ln x$ ， $g (x) = \frac{e^{x}}{x} (a \neq 0)$ ．

(1)、分别说明 $f (x)$ ， $g (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (g (x))$ 存在唯一极小值点，求 $a$ 的取值范围．

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2、俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B卷难度更大）：
某俱乐部标准资格测试参试成绩预测

不及格
及格
良好
优秀
A卷
a
b
16
4
B卷
20
12
6
2

(1)、若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a的最小值；

(2)、在预测的40份B卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X
①求X的分布列及数学期望；
②人教A版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当n远远小于N时…此时，超几何分布可以用二项分布近似．近似指的是期望还是方差？试判断并说明理由．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
α
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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3、给定一种有穷正整数列的延伸机制Ξ，如图所示：
记 $2, 3, 5$ 经Ξ延伸后得到的无穷数列为 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{2024} =$ ．

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4、甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A和B．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：
①A、B中相同的数字少于两个（如147和289）
②A、B中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174）
根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为．

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5、已知复数 $z = (z + i) (z - i)$ ，若 $m \bar{z} = z^{2}$ ，则 $m =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = a^{x} - a x (a > 1)$ ，记 $a = a_{n}$ 时 $f (x)$ 的极值点为 $x_{n}$ （ $n \in N^{*}$ 且 $a_{n}$ 的值均不同）．则下列说法错误的是（）

A、满足 $f (x)$ 有唯一零点的 $a$ 唯一 B、无论 $a$ 取何值， $f (x)$ 都没有过原点的切线 C、若 $x_{1} = x_{2}$ ，则 $a_{1} a_{2} < e^{2 e}$ D、若 $x_{n + 1} = e x_{n}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) \geq e^{n} - 1$

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7、已知抛物线Γ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A，B，且满足 $|A F| > |B F|$ ， $A P ⊥ B P$ ．则下列说法错误的是（）

A、直线AB的倾斜角大于60° B、若 $|P F| = 4$ ，则 $2 |A F| = \sqrt{3} |A B| + 2 |B F|$ C、点P可能在第一象限 D、直线PB的横截距不可能是 $- 1$

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8、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心在AC边上，内切圆半径为 $\sqrt{3} - 1$ ，且 $A = 2 C$ ．设D为AC边上动点，将 $△ A B D$ 沿BD向上翻折，得到四面体ABCD，记为M，其体积为V．则（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆面积为4π B、M不可能是正三棱锥 C、M的外接球球心不可能在其棱上 D、V取最大值时， $|A D| < |C D|$

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9、若满足 $f (x) = a x^{3} - b x + c \geq 0 (c > 0)$ 在 $[- c, c]$ 上恒成立的a唯一，则整数b的值为（）

A、3 B、 $\pm 3$ C、4 D、 $\pm 4$

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10、已知标准椭圆上P，Q两点的切线方程分别为 $2 x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ ， $2 \sqrt{3} x + y - 1 = 0$ ，则直线PQ的斜率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、2 D、 $- 2$

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11、在锐角 $△ A B C$ 中，已知 $\sin (2 A + C) = 2 \sin C - \sin B$ ，则B，C的大小关系为（）

A、 $B > C$ B、 $B = C$ C、 $B < C$ D、无法确定

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12、在递增数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{π}{6}$ ， $\sin (a_{n}) = \cos (a_{n + 1})$ ．已知 $S_{n}$ 表示 $\{a_{n}\}$ 前n项和的最小值，则 $\sin (S_{9}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m，满足上四分位数为28，第80百分位数为30，则m的最小值为（）

A、24 B、25 C、28 D、29

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14、设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = 2 x^{2} + a$ 与直线 $y = m$ 交于点 $A, B$ ．若曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴上方（不含 $x$ 轴）的正三角形 $A B C$ 的两条边相切，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{3}{8})$ B、 $(- \infty, \frac{3}{8})$ C、 $[\frac{3}{8}, + \infty)$ D、 $(\frac{3}{8}, + \infty)$

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15、若集合 $A = \{m^{2} | |m| = 1, m \in C\}$ ， $B = \{a + b i | a b = 0\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、已知函数 $f (x) = x^{2} - a (\ln x + 1)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在 $x \in [1, e]$ ，使得 $\frac{f (x) + a}{x} + a \leq 2$ ，求实数 $a$ 的最大值.

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ （其中 $e = 2.71828 \dots$ ）.

(1)、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (x^{2} - a x + 9) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [0, 1]$ ， $\exists x_{2} \in [m, + \infty)$ ，使 $e^{- |x_{1} - m|} \geq f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 2 x$ $(a \in R)$
（1）当 $a = 1$ 时，求 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；
（2）若函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) ， g (x)$ 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x} - x^{3}$ ，若函数 $h (x) = 3^{|x - 2024|} - λ f (x - 2024) - 2 λ^{2}$ 有唯一零点，则实数 $λ$ 的值为

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20、随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（ $10 \leq m \leq 20$ ， $m \in N^{*}$ ）

支持
不支持
男生
$70 - m$
$10 + m$
女生
$50 + m$
$30 - m$
若通过计算得，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.005
0.001
$x_{0}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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α	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	不及格	及格	良好	优秀
A卷	a	b	16	4
B卷	20	12	6	2

	支持	不支持
男生	$70 - m$	$10 + m$
女生	$50 + m$	$30 - m$