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相关试卷

1、已知集合 $A = {1, - 1}$ ， $B = {1, 0, - 1}$ ，则集合 $C = {a - b | a \in A, b \in B}$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2、已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足在区间 $(0, 1)$ 内单调递增．若 $m = \cos \frac{π}{6}, n = \cos \frac{7 π}{8}, t = \cos (- \frac{π}{5})$ ，则 $f (m), f (n), f (t)$ 的大小关系为（）

A、 $f (m) < f (n) < f (t)$ B、 $f (m) < f (t) < f (n)$ C、 $f (n) < f (t) < f (m)$ D、 $f (t) < f (m) < f (n)$

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3、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 $30 min$ 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： $cm$ ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i} = 9.97$ ， $s = \sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 0.212$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{16} {(i - 8.5)}^{2}} \approx 18.439$ ， $\sum_{i = 1}^{16} (x_{i} - \bar{x}) (i - 8.5) = - 2.78$ 其中 $x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸， $i = 1, 2, ..., 16$ .

(1)、求 $(x_{i}, i) (i = 1, 2, ..., 16)$ 的相关系数 $r$ ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 $|r| < 0.25$ ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；

(2)、一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\bar{x} - 3 s, \bar{x} + 3 s)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）请利用已经学过的方差公式： $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ 来证明方差第二公式 $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}$ .
（iii）在 $(\bar{x} - 3 s, \bar{x} + 3 s)$ 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）
附：样本 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, ..., n)$ 的相关系数 $\hat{r} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{0.008} \approx 0.09$ .

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4、如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，∠ABC= $\frac{π}{3}$ ， ∠B₁BD= $\frac{π}{6}$ ， $∠ B_{1} B A = ∠ B_{1} B C,$ $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2, B_{1} B = 3$
（1）求证：直线AC⊥平面BDB₁；
（2）求直线A₁B₁与平面ACC₁所成角的正弦值.

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5、已知向量 $\overset{⇀}{a} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, - 1)$ .
(1)若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，求 $\frac{\sin^{3} θ + \cos^{3} θ}{\sin θ - \cos θ}$ 的值；
(2)若 $|\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}| = 2$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin (θ + \frac{π}{4})$ 的值.

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \tan x, x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{3}] \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{2}) \\ - \frac{6 \sqrt{3}}{π} x + 3 \sqrt{3}, x \in (\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}] \end{cases}$ 若 $f (x)$ 在区间D上的最大值存在，记该最大值为 $K \{D\}$ ，则满足等式 $K {[0, a)} = 3 \cdot K {[a, 2 a]}$ 的实数a的取值集合是.

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7、已知某圆台的体积为 $(18 + 6 \sqrt{2}) π$ ，其上底面和下底面的面积分别为 $3 π$ ， $6 π$ ，且该圆台两个底面的圆周都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为.

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8、若 $\sin (α + β) = \frac{1}{3}, \tan α = 3 \tan β$ ，则 $\sin (α - β) =$ ．

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9、设正数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为1 B、 ${log}_{2} (x^{2} + y^{2})$ 的最小值为 $- 1$ C、 $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x y}$ 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x y}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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10、下列命题中，真命题是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $e^{x_{0}} \leq 0$ B、 $\sin^{2} x + \frac{2}{\sin x} \geq 3 (x \neq k π, k \in Z)$ C、幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{2 m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上为减函数，则m的值为 $- 1$ D、 $a > 1$ ， $b > 1$ 是 $a b > 1$ 的充分不必要条件

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11、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，AD＝2， $A B = B C = C D = 1$ ， $A D // B C$ ，且 $P A = P C$ ， $P B = P D$ ，则直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $1$

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12、平面内有向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a} - \vec{c}| + 2 |\vec{b} - \vec{c}|$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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13、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + ϕ) (0 < ω < 6, | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(\frac{π}{6}, 2)$ 和 $(\frac{2 π}{3}, - 2)$ .若函数 $g (x) = f (x) - m$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上有唯一零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）.

A、 $(- 1, 1] \cup [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ B、 $\{- 1\} \cup [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ D、 $\{- 2\} \cup (- 1, 1]$

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14、已知甲袋中有4个白球､ $x$ 个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则 $x =$ （）

A、2 B、4 C、6或2 D、8或4

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15、下表是某服装销售公司2021年度各类服装营业收入占比和净利润占比统计表：
衣服裤子类
鞋类
帽子围巾类
其他类
营业收入占比
$91.10 %$
$3.98 %$
$3.62 %$
$1.30 %$
净利润占比
$94.80 %$
$- 0.68 %$
$3.62 %$
$2.26 %$
下列判断中不正确的是（）

A、该公司2021年度鞋类销售亏损 B、该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供 C、该公司2021年度帽子围巾类营业收入和净利润相同 D、清除鞋类销售数据后，该公司2021年度衣服裤子类销售净利润占比将会降低

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16、定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = - 3^{|x + m|} + 2$ 为偶函数， $a = f (\log_{2} \frac{1}{2}), b = f ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}})$ ， $c = f (m)$ ，则（　　）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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17、考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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18、小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如 $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$ ， $74 = 2 \times 37$ 等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数 $n$ ，我们将比 $n$ 小且与 $n$ 互质的正整数的个数记为 $A (n)$ ．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以 $A (10) = 4$ ，同理有 $A (12) = 4$ ．

(1)、求 $A (60)$ ， $A (312)$ ；

(2)、求所有 $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ，使得 $A (n)$ 是奇数；

(3)、若正整数 $n = p_{1} p_{2} \dots p_{k}$ ，其中 $p_{1}, p_{2}, ..., p_{k}$ 表示互不相同的质数．证明： $A (n) = n (1 - \frac{1}{p_{1}}) (1 - \frac{1}{p_{2}}) \dots (1 - \frac{1}{p_{k}})$ .

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19、已知焦点为F的抛物线Γ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，圆F与Γ在第一象限的交点为P，与x正，负半轴分别交于点H，G．直线PH，直线PF与Γ的另一交点分别为M，N，直线MN与直线PG交于点T．

(1)、若 $|P F| < 2 p$ ，证明： $∠ P N M > 2 ∠ P M N$ ；

(2)、若 $p = 2$ ，求 $S_{△ P N T}$ 的取值范围．

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20、已知无限高圆柱 $O O_{1}$ ．如图，四边形 $A B C D$ 内接于其底面⊙O，P为其内一动点（包括表面），且平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ， $P C ⊥ A B$ ．

(1)、是否存在点 $P$ 使得直线 $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ？试判断并说明理由．

(2)、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$ ，二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，求 $A P$ 最大时直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的余弦值．

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抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

	衣服裤子类	鞋类	帽子围巾类	其他类
营业收入占比	$91.10 %$	$3.98 %$	$3.62 %$	$1.30 %$
净利润占比	$94.80 %$	$- 0.68 %$	$3.62 %$	$2.26 %$