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相关试卷

1、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = \frac{1}{2} A D = 2$ ，点 $P$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{A_{1} D_{1}}$ 上的动点（不包括端点），点 $Q$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A D} \cdot \vec{A_{1} P}$ 的取值范围是 $[0, 16]$ B、若 $C_{1} Q$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $θ$ ，则 $tan θ > \frac{1}{2}$ C、 $C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ D、若三棱锥 $P - B C Q$ 的外接球表面积为 $S$ ，则 $S \in [16 π, 32 π)$

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2、已知P为圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点 $($ 不在坐标轴上 $)$ ，过P作 $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为Q，将 $△ O P Q$ 绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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3、图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”—— $500 m$ 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系 $x O y$ 内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为 $125 m$ ，则点到该抛物线焦点F的距离为（）

A、 $225 m$ B、 $275 m$ C、 $330 m$ D、 $380 m$

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4、函数 $f (x) = \frac{2 cos (π x)}{e^{x} - e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a < b < c$ ， $a c < 0$ ，则（）

A、 $a b^{2} < b^{2} c$ B、 $\frac{1}{c} > \frac{1}{a}$ C、 $\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \leq - 2$ D、 $c - a > 2 \sqrt{(c - b) (b - a)}$

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6、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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7、已知 $a, b$ 为实数，则“ $a > b > 1$ ”是“ $(a - 1) (b - 1) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n + 1} - a_{n} > a_{n} - a_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ，且 $n \in N^{*}$ ），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“差增数列”；若对于差增数列 $\{a_{n}\}$ ，存在整数k，同时满足以下两个条件：①对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} \geq k n$ 成立；②存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} = k n$ 成立，则称数列 $\{k n\}$ 为差增数列 $\{a_{n}\}$ 的“下限数列”.

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是差增数列，若 $a_{n} \in \{x |x 为小于 20 的质数\}$ ，试写出项数为5的差增数列 $\{a_{n}\}$ ；

(2)、已知等差数列 $\{b_{n}\}$ 是公差为d的正项数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{c_{n}\}$ 是公比为 $q (q \in N^{*})$ 的非常数数列，且 $c_{1} = 3$ ；
（ⅰ）试判断数列 $\{n S_{n}\}$ 是否为“差增数列”，并说明理由；
（ⅱ）若 $b_{1} = 2$ ，且 $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4} + 4$ 成等比数列，则是否存在以数列 $\{\frac{2 d}{q} n\}$ 为“下限数列”的差增数列 $\{\frac{c_{n}}{S_{n}}\}$ ？若存在，求q的值；若不存在，请说明理由.

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9、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $A (3, t)$ 在C上，且 $|A F| = \frac{7}{2}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、若M，N是C上的两个不同动点（M在x轴上方，N在x轴下方），满足 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 8$ .
（ⅰ）求证：直线 $M N$ 过定点P；
（ⅱ）设直线 $M N$ 的斜率为k，过点P，且斜率为 $- \frac{2}{k}$ 的直线交C于R，S两点，求四边形 $M R N S$ 面积的最小值.

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10、已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，点 $P$ 在 $l$ 上，点 $Q$ 在 $C$ 上.

(1)、若一条光线沿着直线 $l$ 从右上往左下射出，经 $y$ 轴反射后，与 $C$ 相切，求 $r$ ；

(2)、若 $r = 1$ ， $R (2, 2)$ ，求点 $P$ 的坐标，使 $|P R| + |P Q|$ 有最小值，并求出这最小值.

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11、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $∠ S A C = 90 °$ ， $A D = A S = 2 C D = 2$ .

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $A C S$ ；

(2)、求平面 $S B C$ 与平面 $S C D$ 夹角的余弦值.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - 2 a x^{2}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f^{'} (x)$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $a x - 3 y - 2 = 0$ 垂直，求a.

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13、椭圆有如下结论：“过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作该椭圆的切线，切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .”设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ 时， $△ M O N$ （O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot a_{n + 2} = - \frac{1}{3}$ ，若 $a_{1} = - 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{9}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前n项积的最大值为.

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15、已知点 $P (2, - \sqrt{3})$ 和直线 $l : x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ ，则点P到l的距离为.

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16、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，P，Q分别是线段 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ 上的动点，M是线段 $P Q$ 的中点，且满足 $P Q = 2 \sqrt{6}$ ，过 $P Q$ 作平面 $α$ ，使得 $B_{1} C / / α$ ，则（）

A、当 $\vec{A_{1} Q} = 2 \vec{Q D_{1}}$ 时， $A M ⊥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ B、当P为线段 $A B$ 中点时，直线 $B_{1} C$ 到平面 $α$ 的距离为 $\frac{10 \sqrt{11}}{11}$ C、直线 $P Q$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的最大角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2} - 1}{3}$ D、 $\vec{M C} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为 $22 - 4 \sqrt{10}$

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且对任意m， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} + a_{n} + 1$ ，则（）

A、 $a_{2} = 3$ B、 $a_{2025} = a_{2020} + a_{6} - 1$ C、 $a_{1011} + a_{1013} = a_{2024}$ D、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是递增数列

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18、已知曲线 $C : (3 - m) x^{2} + (m + 1) y^{2} = (3 - m) (m + 1)$ ，则（）

A、当 $m = 1$ 时，C是半径为 $\sqrt{2}$ 的圆 B、当 $- 1 < m < 1$ 时，C是焦点在x轴上的椭圆 C、当 $m > 3$ 时，C是焦点在x轴上的双曲线 D、当 $m = - 1$ 时，C是两条直线

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19、已知斐波那契数列 $\{F_{n}\}$ 满足 $F_{1} = F_{2} = 1$ ， $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ .卢卡斯数列 $\{L_{n}\}$ 满足 $L_{1} = 1$ ，且 $L_{n + 1} = F_{n} + F_{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $F_{2025} =$ （）

A、 $\frac{2}{5} L_{2022} + \frac{1}{5} L_{2024}$ B、 $\frac{1}{3} L_{2023} + \frac{1}{5} L_{2025}$ C、 $\frac{1}{5} L_{2024} + \frac{1}{5} L_{2026}$ D、 $\frac{1}{3} L_{2025} + \frac{1}{7} L_{2027}$

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，一条渐近线方程为 $y = - \frac{\sqrt{10}}{2} x$ ，过 $F_{1}$ 作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则 $\frac{|F_{1} A|}{|A B|} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{7}{3}$

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