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相关试卷

1、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n}$ 与1的等差中项等于 $S_{n}$ 与1的等比中项．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式以及 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 5}{(\sqrt{S_{n}} + 1) \cdot \sqrt{S_{n}} \cdot 2^{\sqrt{S_{n}}}} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ；
（ⅰ）求证： $T_{n} < 1 (n \in N^{*})$ ；
（ⅱ）若数列 $\{\frac{1}{1 - T_{n}}\} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和为 $M_{n}$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，均有 $λ \cdot M_{n} \geq 4 n^{2} - 14 n$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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2、如图，正方形 $A B C D$ 所在的平面与平面 $A B N M$ 垂直，点 $P$ 为 $A D$ 的中点， $A M ∥ B N$ ， $∠ A B N = 90 °$ ， $A M = A B = \frac{1}{2} B N = 2$ ．

(1)、证明： $N C / /$ 平面 $A M D$ ；

(2)、求平面 $P N C$ 与平面 $A M D$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $D$ 到平面 $P N C$ 的距离．

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 a - c = 2 b \cos C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $c = a + 1$ ， $b = \sqrt{7}$ .
（ⅰ）求 $△ A B C$ 的面积；
（ⅱ）求 $\cos (A - 2 B)$ 的值.

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4、设 $f (x)$ ， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的两个周期函数， $f (x)$ 的周期为4， $g (x)$ 的周期为2，且 $f (x)$ 是奇函数．当 $x \in (0, 2]$ 时， $f (x) = \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} k (x + 2), 0 < x \leq 1, \\ - \frac{1}{2}, 1 < x \leq 2, \end{array} (k > 0)$ ．若在区间 $(0, 9]$ 上，关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 有5个不同的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是．

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5、若曲线 $y = x^{n + 1} (n \in N^{*})$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_{n}$ ，则 $\log_{2025} x_{1} + \log_{2025} x_{2} + \cdot \cdot \cdot + \log_{2025} x_{2024} =$ ．

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6、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A F} = \frac{1}{4} \vec{A D}$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $C E$ 与 $B F$ 交于点 $O$ ．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{B F} =$ ；若 $\vec{A O} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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7、某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为．

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8、在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的二项展开式中，常数项为．

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9、 $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = - 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为．

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10、已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线与抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} = 16 y$ 的准线相交于点 $A$ ，点 $A$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，双曲线 $C_{1}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ．若过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 的左支于 $B$ ， $C$ 两点，且 $|O B| = |O F_{1}|$ （ $O$ 为坐标原点），记点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $\frac{d}{a} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{7} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{17} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17} - 1}{2}$

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11、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是棱 $A B$ 上的点，且 $A M = \frac{1}{4} A B$ ．平面 $M C D_{1}$ 将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为 $V_{1}$ 和 $V_{2} (V_{1} < V_{2})$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{25}{32}$ C、 $\frac{13}{41}$ D、 $\frac{7}{25}$

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12、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的两条相邻对称轴之间的距离为 $2 π$ ，现将 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $(- m, m)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{6}]$ B、 $(0, \frac{2π}{3}]$ C、 $(0, π]$ D、 $(0, \frac{4π}{3}]$

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13、设 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为函数 $f (x) = x \ln x - 1$ ， $g (x) = x e^{x} - 1$ ， $h (x) = x \sqrt{x} - 1$ 的零点，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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14、若直线 $l$ ： $(1 + 3 λ) x + (1 + λ) y - 2 - 4 λ = 0 (λ \in R)$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 y - 12 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{14}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{14}$

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15、一组数据按从小到大的顺序排列为1，3， $m$ ， 7，10，11，若该组数据的中位数是这组数据极差的 $\frac{1}{2}$ ，则该组数据的第45百分位数是（）

A、3 B、4 C、5 D、7

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16、已知 $m$ ， $n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m / / α$ ， $α / / β$ ，则 $m / / β$

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17、已知 $a \in R$ ，使得不等式“ $\frac{1}{a} > 1$ ”成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $a > 2$ B、 $a < 1$ C、 $0 < a < \frac{1}{2}$ D、 $0 < a < 1$

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18、已知 $P$ 是圆 $C : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 12$ 上一动点，定点 $M (2, 0)$ ，线段 $P M$ 的垂直平分线 $n$ 与直线 $P C$ 交于点 $T$ ，记点 $T$ 的轨迹为 $C^{'}$ ．

(1)、求 $C^{'}$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C^{'}$ 恰有一个共点，且 $l$ 与直线 $l_{1} : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ， $l_{2} : y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 分别交于 $A$ 、 $B$ 两点， $△ O A B$ 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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19、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = 4.$

(1)、若 $C C_{1} = \sqrt{2}$ ，证明： $C C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若三棱台的高为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，求平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值.

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20、袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球 $($ 不再放回 $)$ ，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为.

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