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相关试卷

1、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G, H, K, L$ 分别为 $A B, B B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}, D_{1} D, D A$ 各棱的中点.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F G H K L$ ；

(2)、求平面 $A_{1} E L$ 与平面 $E F G H K L$ 夹角的余弦值.

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2、在某次活动中，登记的8个数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{8}$ 的平均数为8，方差为16，其中 $x_{1} = 7$ ．后来发现 $x_{1}$ 应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为，方差为．

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3、已知空间三点 $A (1, 2, 1), B (1, 3, 2), C (2, 3, 1)$ ，则以 $A B, A C$ 为邻边的平行四边形的面积为．

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4、已知一条线段的端点分别是 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，关于 $x, y$ 的方程 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) + b (y - y_{1}) (y - y_{2}) = c$ ，则（）

A、当 $a = b \neq 0, c = 0$ 时，方程所表示的曲线是以 $A B$ 为直径的圆 B、当 $a = 1, b = - 1, c \neq 0$ 时，方程所表示的曲线是双曲线 C、存在 $a, b, c$ ，使得方程所表示的曲线是椭圆 D、任意 $a > 0, b > 0, c > 0$ ，方程所表示的曲线围成的封闭区域面积大于 $\frac{1}{4} π {|A B|}^{2}$

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5、某市举行了一次数学史和趣味数学知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，对本次竞赛学生成绩进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（）

A、 $x = 0.015$ B、此次竞赛成绩低于70的学生比率估计为 $25 %$ C、此次竞赛成绩众数的估计值为75 D、此次竞赛成绩平均数的估计值不超过80

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6、设 $O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $C_{2} : x^{2} - y^{2} = 1$ 在第一象限的公共点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C_{1}$ 的左、右焦点，则（）

A、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的焦点相同 B、 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2$ C、 $|P F_{1}| = 3$ D、 $|O P| = \sqrt{2}$

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7、如图，二面角 $α - l - β$ 的棱上有两个点 $A, B$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $l$ ．若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $B D = 3$ ，二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $C D =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，渐近线为 $l_{1}, l_{2}$ ，过 $F$ 且垂直于 $l_{1}$ 的直线分别交 $l_{1}, l_{2}$ 于 $M, N$ 两点，且 $\vec{F M} = - \frac{1}{2} \vec{F N}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”，则下述正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $A$ 与 $B$ 相等 D、 $A$ 与 $B$ 相互独立

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10、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 的位置关系是（）

A、内切 B、外切 C、相交 D、相离

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11、从 $1 ～ 9$ 这9个数字中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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12、直线 $\sqrt{3} x - y = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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13、某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在 $[20, 70]$ 内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段
类型
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70]$
单次购物金额满188元
8
15
23
15
9
单次购物金额不满188元
2
3
5
9
11

(1)、为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？

(2)、在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.

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14、下列求导不正确的是（）

A、 ${(sin x - sin \frac{π}{6})}^{'} = cos x - sin \frac{π}{6}$ B、 ${[{(2 x + 1)}^{2}]}^{'} = 2 (2 x + 1)$ C、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ D、 ${(2^{x} + x^{2})}^{'} = 2^{x} + 2 x$

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15、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 2$ ，则向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A_{1} C}$ 的夹角是（　　）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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16、1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段 $A B$ 与 $C D$ 所在直线异面垂直， $E ､ F$ 分别为 $A B ､ C D$ 的中点，且 $E F ⊥ A B, E F ⊥ C D$ ，线拐子使用时将丝线从点 $A$ 出发，依次经过 $D ､ B ､ C$ 又回到点 $A$ ，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中 $A B = E F = C D = 30 cm$ ，则丝线缠一圈长度为（）

A、 $90 \sqrt{2} cm$ B、 $90 \sqrt{3} cm$ C、 $60 \sqrt{6} cm$ D、 $80 \sqrt{3} cm$

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17、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如下，则下面判断正确的是（）

A、在区间 $(- 2, 1)$ 上 $f (x)$ 是增函数 B、在 $(1, 2)$ 上 $f (x)$ 是减函数 C、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取极大值 D、在 $(4, 5)$ 上 $f (x)$ 是增函数

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18、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 4) ， \vec{b} = (- 1, 5, - 2) ， \vec{c} = (1, 4, λ)$ ，若 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 三向量共面，则实数 $λ$ 等于（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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19、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $e$ C、 $2 e$ D、 $e^{0}$

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20、已知函数 $f (x) = |x + a| + |x - 1|$ ， $a \in R$ ．
（1）当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解；
（2）对任意 $m \in (0, 3)$ ．关于x的不等式 $f (x) < m + \frac{1}{m} + 2$ 总有解，求实数a的取值范围．

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