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相关试卷

1、秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对应的边，其公式为： $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{(a b)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{{(b c)}^{2} - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2})}^{2}}$ $= \frac{1}{2} \sqrt{{(a c)}^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}}$ 若 $c^{2} = \frac{2 \sin C}{\sin A}$ ， $\cos B = \frac{3}{5}$ ， $a > b > c$ ，则利用“三斜求积术”求 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2、已知点 $A (1, 1)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (- 1, - 1)$ ．则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{3 \sqrt{10}}{5})$ B、 $(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{3 \sqrt{10}}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{1}{5}, - \frac{3}{5})$

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3、某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）

A、恰有1名女生和恰有2名女生 B、至少有1名男生和至少有1名女生 C、至少有1名女生和全是女生 D、至少有1名女生和至多有1名男生

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4、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ B A D = 120 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $C D$ ， $P C$ 的中点， $A P = 4$ .
（1）求四棱锥 $F - A B C E$ 的体积；
（2）求 $B F$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正切值.

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5、共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组： $[50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ （满意度评分值均在 $[50, 100]$ 内），制成如图所示的频率分直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、用分层抽样的方法在满意度评分值在 $[80, 90), [90, 100]$ 内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在 $[80, 90)$ 内的概率.

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6、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 的对边，已知 $a^{2} = b^{2} + c^{2} + b c$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $b + c = \frac{13}{2}, a = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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7、已知复数 $z = m^{2} + 6 m - 7 + (m^{2} - m) i$ ．

(1)、若复数 $z$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、当非零复数 $z$ 的实部和虚部互为相反数时，求实数 $m$ 的值．

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8、 $\frac{\tan 84 ° - \tan 24 ° + \tan 300 °}{\tan 84 ° \tan 24 °} =$ .

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9、已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为.

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10、已知 $\vec{a} = (- 2, \sqrt{2}), \vec{b} = (\sqrt{2}, 1)$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦值为.

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11、已知两组数据，第一组： $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ：第二组 $2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026, 2027$ ，则下列说法正确的是（）

A、两组数据的平均数相同 B、两组数据的中位数相同 C、两组数据的极差相同 D、两组数据的方差相同

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12、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $α ⊥ β, α \cap β = n, m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α / / β, β / / γ, m \subset α, n \subset γ$ ，则 $m // n$

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13、某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有50人，二年级有40人，三年级有30人．现用分层抽样的方法在这120名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了15人，则这个样本中共有（）

A、24人 B、36人 C、48人 D、60人

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14、某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为 $15 %$ ，则下列说法正确的是（）

A、某人抽奖100次，一定能中奖15次 B、某人抽奖200次，至少能中奖3次 C、某人抽奖1次，一定不能中奖 D、某人抽奖20次，可能1次也没中奖

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15、已知 $i$ 为虚数单位，若 $i (1 - \bar{z}) = 1$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、i D、 $- i$

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16、下列选项中，与角 $α = - 40 °$ 终边相同的角是（）

A、 $- 400 °$ B、 $- 380 °$ C、310° D、330°

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17、在直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $A (\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在 $C$ 上，直线 $l : y = x + m (- 1 < m < 1)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，与 $x$ 轴相交于点 $K$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、将平面 $x O y$ 沿 $x$ 轴翻折，使 $y$ 轴正半轴和 $x$ 轴所确定的半平面与 $y$ 轴负半轴和 $x$ 轴所确定的半平面所成二面角的平面角为 $θ$ ，且 $0 < θ \leq \frac{π}{2}$ ．
①当 $θ = \frac{π}{4}, m = 0$ 时，求翻折后三棱锥 $A - O M N$ 的体积；
②求翻折后 $△ M N K$ 周长的最大值．

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18、已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(2, 1), (- 2, 1)$ ，直线 $A D, B D$ 相交于点 $D$ ，且直线 $A D$ 的斜率与直线 $B D$ 的斜率之差是1，记动点 $D$ 的轨迹为 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $F (0, 1)$ 的直线 $l_{1}$ 与 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，过 $M, N$ 分别作直线 $l_{2} : y = - 1$ 的垂线，垂足为 $P, Q$ ， $R$ 为 $P Q$ 的中点．
①证明： $M R / / F Q$ ；
②设直线 $F Q$ 与 $N R$ 交于点 $K$ ，记 $△ K M R, △ N P Q$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，当 $S_{1} S_{2} = 32$ 时，求直线 $l_{1}$ 的方程．

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19、下面的三个游戏都是在袋子中装入大小和质地相同的小球，然后从袋子中不放回地取球．

	游戏1	游戏2	游戏3
袋子中球的数量和颜色	2个红球和1个白球	1个红球和2个白球	2个红球和2个白球
取球规则	取1个球	依次取2个球	依次取2个球
获胜规则	取到红球 $\to$ 甲胜	两个球同色 $\to$ 甲胜	两个球同色 $\to$ 甲胜
获胜规则	取到白球 $\to$ 乙胜	两个球不同色 $\to$ 乙胜	两个球不同色 $\to$ 乙胜

(1)、分别计算三个游戏中甲获胜的概率，并判断哪个游戏对甲更有利；

(2)、若三个游戏各进行一次，且每个游戏的结果互不影响，求甲获胜次数多于乙的概率．

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20、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 14 = 0$ ，直线 $l : (m + 2) x + (m - 1) y + 2 m - 8 = 0$ ．

(1)、求证：直线 $l$ 恒过定点；

(2)、当直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时，求 $m$ 的值以及最短弦长．

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