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相关试卷

1、下列说法正确的是（）
①已知 $a, b, c$ 为三条直线，若 $a, b$ 异面， $b, c$ 异面，则 $a, c$ 异面；
②若a不平行于平面 $α$ ，且 $a \subset α$ ，则 $α$ 内的所有直线与a异面；
③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面；
④若 $△ A B C$ 在平面 $α$ 外，它的三条边所在的直线分别交 $α$ 于 $P 、 Q 、 R$ ，则 $P 、 Q 、 R$ ，三点共线．

A、①② B、③④ C、①③ D、②④

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2、已知圆锥的底面圆周在球 $O$ 的球面上，顶点为球心 $O$ ，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $24 π$ B、 $36 π$ C、 $48 π$ D、 $64 π$

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3、复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4、高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 $z = a + b i$ 对应复平面内的点Z，设 $∠ X O Z = θ$ ， $|O Z| = r$ ，则任何一个复数 $z = a + b i$ 都可以表示成： $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ 的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若 $0 \leq θ < 2 π$ ，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若 $z_{i} = r_{i} (\cos θ, + i \sin θ_{i}), i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot n$ ，则： $z_{1} \cdot z_{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot z_{n} = r_{1} r_{2} \cdot \cdot \cdot r_{n} [\cos (θ_{1} + θ_{2} + \cdot \cdot \cdot + θ_{n}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2} + \cdot \cdot \cdot + θ_{n})]$ ，特别地，如果 $z_{1} = z_{2} = \cdot \cdot \cdot z_{n} = r (\cos θ + i \sin θ)$ 那么 ${[r (\cos θ + i \sin θ)]}^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$ 这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：

(1)、求复数 $z = 1 + cos θ + isin θ, θ \in (π, 2 π)$ 的模 $|z|$ 和辐角主值argz（用θ表示）；

(2)、设 $n \leq 2024, n \in N$ ，若存在 $θ \in R$ 满足 ${(\sin θ + i \cos θ)}^{n} = \sin n θ + i \cos n θ$ ，那么这样的n有多少个？

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5、已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育项目情况统计如下：
体育锻炼目的情况（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天

10天
乙
10天
10天
5天
25天
假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为 $\frac{4}{7}$ ．

(1)、请将表格内容补充完整；（写出计算过程）

(2)、已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为 $\frac{1}{4}$ ，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为 $\frac{3}{4}$ ，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．

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6、某工厂每月最后1个工作日为本月“技术竞赛日”，竞赛获奖结果有四种：未获奖、三等奖、二等奖、一等奖，在以往的技术竞赛记录中随机抽取了200人，统计制成了如下获奖人次条形图.现有甲、乙、丙、丁4人要参加本月“技术竞赛日”的竞赛，以条形图中获奖情况的频率为每人获奖的概率.

(1)、估计在本月“技术竞赛日”的竞赛中，甲获一等奖且乙未获奖的概率；

(2)、若获三等奖、二等奖、一等奖所对应的奖金逐级增高，未获奖则没有奖金，估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率.

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7、一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于 $n^{2}$ ，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为．

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8、某班成立了 $A, B$ 两个数学兴趣小组， $A$ 组 $10$ 人， $B$ 组 $30$ 人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中， $A$ 组的平均成绩为 $130$ 分，方差为 $115$ ， $B$ 组的平均成绩为 $110$ 分，方差为 $215$ ．则在这次测试中全班学生方差为．

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9、已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是.

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10、如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式： $d = A sin (ω x + φ) + k (A > 0, ω > 0), - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（）

A、 $k = 5$ B、 $A = 10$ C、 $ω = \frac{2 π}{15}$ D、 $k = 10$

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11、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A B = B C = 1$ ，三棱柱外接球的球心为 $O$ ，点 $E$ 是侧棱 $B B_{1}$ 上的一动点.下列说法正确的个数是（）
①直线 $A C$ 与直线 $C_{1} E$ 是异面直线；②若 $∠ A B C = 90 °$ ，则 $A_{1} E$ 与 $A C_{1}$ 一定不垂直；③若 $∠ A B C = 60 °$ ，则三棱锥 $E - A A_{1} O$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{18}$ ；④ 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积的最大值为 $12 π$ .

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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12、若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $3 \sqrt{2} + 4$

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13、已知一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{9}$ 满足： $x_{1} < x_{2} < x_{3} < \dots < x_{9}$ ，则去掉 $x_{5}$ 后，下列数字特征中一定变化的是（）

A、平均数 B、中位数 C、极差 D、方差

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14、寒假期间，甲、乙、丙、丁 $4$ 名同学相约到 $A, B, C, D$ 4个不同的社区参加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件 $A =$ “ $4$ 个人去的社区各不相同”，事件 $B =$ “甲独自去一个社区”，则 $P (A | B) =$ （）

A、 $\frac{3}{32}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{27}{64}$

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15、底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（）

A、 $\frac{26}{3}$ B、 $\frac{38}{3}$ C、13 D、26

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16、 $\sin 20 ° \cos 20 ° - \cos^{2} 25 ° =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{1}{2}$

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17、若 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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18、已知 $P (a, b)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 外，则直线 $a x + b y - 4 = 0$ 与圆的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、以上皆有可能

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19、若平面 $α ⊥ β$ ，且平面 $α$ 的一个法向量为 $\overset{⃑}{n} = (- 2, 1, \frac{1}{2})$ ，则平面 $β$ 的法向量可以是（）

A、 $(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ B、 $(2, - 1, 0)$ C、 $(1$ ， 2， $0)$ D、 $(\frac{1}{2}, 1, 2)$

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20、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $A (1, 1, 2)$ 关于y轴对称点的坐标为（）

A、 $(1, 1, - 2)$ B、 $(- 1, 1, 2)$ C、 $(- 1, 1, - 2)$ D、 $(1, - 1, 2)$

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甲	20天			10天
乙	10天	10天	5天	25天