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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, \vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - 3, (\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则下列说法正确的为（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| \vec{a} - t \vec{b} | (t \in R)$ 最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $| \vec{c} |$ 最大值为 $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ D、 $\sin 〈 \vec{a} + \vec{b}, \vec{c} 〉 \in [0, \frac{\sqrt{21}}{7}]$

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2、已知复数 $z_{1}, z_{2}, \bar{z_{1}}$ 为 $z_{1}$ 的共轭复数，则下列结论一定正确的是（）

A、 $|z_{1}| = |\bar{z_{1}}|$ B、 $z_{1} + \bar{z_{1}}$ 一定是实数 C、若 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1} - z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、 $|\bar{z_{1}} z_{2}| = |z_{1} z_{2}|$

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3、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x - \frac{1}{x}$ B、 $y = 2 x^{2} + 1$ C、 $y = \sqrt{| x |}$ D、 $y = x^{- 2}$

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4、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，且向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，若对任意的 $μ \in R, | \vec{a} + λ \vec{b} | \leq | \vec{a} + μ \vec{b} |$ 恒成立，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、－1

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5、为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为 $30 °$ ，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为 $60 °$ ，若 $∠ A O B = 60 °$ ，则铁塔OT的高度为（）米

A、 $10 \sqrt{7}$ B、 $10 \sqrt{21}$ C、 $30 \sqrt{7}$ D、 $30 \sqrt{21}$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $λ > \frac{1}{2}$ B、 $λ > \frac{1}{2}$ 且 $λ \neq 1$ C、 $λ < \frac{1}{2}$ D、 $λ < \frac{1}{2}$ 且 $λ \neq 0$

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7、在 $△ A B C$ 中，已知 $\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}, \vec{C A} \cdot \vec{C B} = \sqrt{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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8、已知向量 $\vec{a} = (x, 2), \vec{b} = (2, y), \vec{c} = (1, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $x + y =$ （）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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9、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C所对的边，若 $B = 30 °, b = \sqrt{2}, c = 2$ ，则C=（）

A、 $45 °$ B、 $135 °$ C、 $45 °$ 或 $135 °$ D、 $120 °$

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10、已知复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{i}{2}$ D、 $- \frac{i}{2}$

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11、设集合 $A = \{x |x \geq 1\}, B = \{x |0 < x \leq 3\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{x |0 < x < 1\}$ B、 $\{x |x > 0\}$ C、 $\{x |x < 1\}$ D、 $\{x |1 \leq x < 3\}$

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12、对于非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

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13、已知动圆 $C_{1} ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = r_{1}^{2} (r_{1} > 0)$ 与动圆 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r_{2}^{2} (r_{2} > 0)$ ，满足 $|r_{1} - r_{2}| = 2 \sqrt{3}$ ，记 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A， $B ($ 点A在点B的左侧 $) .$

(1)、求曲线T的方程；

(2)、若直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 相切，且与曲线T交于 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 两点 $($ 点 $P_{1}$ 在y轴左侧，点 $P_{2}$ 在y轴右侧 $) .$
（ⅰ）若直线l与直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 和 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 分别交于 $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ 两点，证明： $|P_{1} Q_{1} |=| P_{2} Q_{2}|$ ；
（ⅱ）记直线 $A P_{1}$ ， $B P_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 是定值.

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14、已知函数 $f (x) = (2 x + 1) e^{x}$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - k x$ 在 $(- \infty, 0)$ 上恰有两个零点，求 $k$ 的取值范围.

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15、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 为等边三角形， $∠ B A C = 90 °$ ， $A C = 2 A B = 4$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点， $M$ 为线段 $B C$ 上一点， $\sin ∠ C A M = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、证明： $M E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P M = \sqrt{13}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $A M E$ 所成角的正弦值.

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{1}$ ， $2 a_{5} = b_{3} + 2$ ， $a_{4} = b_{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{\log_{2} b_{n}^{2} + 1}{a_{n}^{2} a_{n + 1}^{2}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，并求证： $\frac{3}{4} \leq S_{n} < 1$ ．

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17、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，平面 $A_{1} B D$ 截正方体内切球所得的截面面积为．

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18、函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 2$ 在 $[- 2, 0]$ 上的最小值为．

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x, y \in R$ ，均满足 $f (x - y) - f (x + y) = f (x - 1) f (y - 1)$ ，且 $f (0) = 2$ ，则（）

A、函数 $g (x) = x f (x)$ 为偶函数 B、8是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2025, 0)$ 对称 D、 $\sum_{i = 0}^{2025} f (i) = 2$

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20、已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| - 2 |y|$ ，则以下说法正确的是（）

A、点 $(1, - 1)$ 在曲线内部 B、曲线关于原点对称 C、曲线与坐标轴围成的面积为 $2 π - 4$ D、曲线的周长是 $\sqrt{2} π$

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