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相关试卷

1、从编号为1，2，…， $n (n \in N^{*})$ 的座位中按照如下方式选取座位：选取至少 $2$ 个座位，并且选取的座位中没有相邻的座位，则称这样的座位选取方案称为“社交排位”．

(1)、若 $n$ 个座位排成一排，对应的“社交排位”数为 $u_{n}$ ，例如 $n = 1$ 时，由于至少要选取2个座位，因此 $u_{1} = 0; n = 3$ 时，由于只能选取第1，3个座位，因此 $u_{3} = 1$ ．
（i）求 $u_{4}, u_{5}$ ；
（ii）求使 $u_{n} \geq 300$ 的最小正整数 $n$ ，

(2)、若 $n$ 个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为 $r_{n}$ ，求数列 $\{r_{n}\}$ 中第2025个奇数对应的 $n$ ．

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2、已知函数 $f (x) = x \ln x - 1$ ，函数 $f (x)$ 图象上的一点 $(x_{0}, f (x_{0})) (x_{0} \neq \frac{1}{e})$ ，按照如下的方式构造切线 $l_{n} (n \in N^{*})$ ：在点 $(x_{n - 1}, f (x_{n - 1}))$ 处作 $f (x)$ 的切线 $l_{n}$ ，记切线 $l_{n}$ 与x轴交点的横坐标为 $x_{n}$ ．

(1)、写出 $x_{n}$ 与 $x_{n - 1}$ 的递推关系式；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为r，且 $x_{0} > r$ ．
（i）证明：当 $x_{n - 1} > r$ 时， $x_{n} > r$ ；
（ii）证明：对于任意的 $C \in [\frac{1}{2}, 1)$ ，都有 $|x_{n} - r| < C^{n} |x_{0} - r|$ ．

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3、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时， $| P F | = \frac{1}{2}$ ， R是直线 $y = 2$ 上一动点， $| P R |$ 的最小值为1．

(1)、求E的方程：

(2)、过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求 $△ R M N$ 面积的取值范围．

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4、已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °, A A_{1} = A_{1} B_{1} = 1$ ， E是 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $D D_{1} ⊥$ 平面 $A D_{1} E$ ；

(2)、求平面 $A D_{1} E$ 与平面 $A_{1} D_{1} E$ 夹角的余弦值．

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5、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， BC边上的高等于 $\frac{\sqrt{3}}{4} B C$ ．

(1)、求 $\sin B \sin C$ 的值；

(2)、若 $B C = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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6、将五张标有 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按 $1 - 3 - 5 - 4 - 2$ 取走卡片的顺序是“和谐序”，按 $1 - 5 - 2 - 3 - 4$ 取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这 $5$ 张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为．

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1, 0)$ ， C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且 $| F A | = 3 | F B |$ ，则 $△ T F A$ 的面积等于．

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8、对于 $n \in N^{*}$ ，将n表示为 $n = a_{0} \cdot 3^{0} + a_{1} \cdot 3^{1} + a_{2} \cdot 3^{2} + \dots + a_{k} \cdot 3^{k}$ ．其中 $a_{i} \in {- 1, 0, 1} (i = 0, 1, 2, \dots, k), a_{k} \neq 0$ ．记 $I (n)$ 为上述表示中 $a_{i}$ 为0的个数（例如 $8 = (- 1) \cdot 3^{0} + 0 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{2}$ ，则 $I (8) = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $I (9) = 2$ B、 $I (3^{n} - 1) = n - 1$ C、 $I (9 n) = I (n) + 2$ D、 $I (9 n + 4) = I (n) + 4$

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f^{2} (x) + f^{2} (y) = f (x + y) f (x - y) + 1$ ， $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (3) = 0$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 的最大值为 $1$

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10、已知函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称

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11、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 均不为0，则下列等式不恒成立的是（）

A、 $\bar{z_{1} - z_{2}} = \bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}$ B、 $|z_{1} - z_{2}| = |{\bar{z}}_{1} - {\bar{z}}_{2}|$ C、 $z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2} = {\bar{z}}_{1} \cdot z_{2}$ D、 $|z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2}| = |{\bar{z}}_{1} \cdot z_{2}|$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $\frac{2 π}{3}$ ，集合 $S = \{\cos a_{n} ∣ n \in N^{*}\}$ ，若 $S = {a, b, c}$ ，则 $a + b + c =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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13、已知函数 $f (x) = a e^{x} - e^{- x}$ （a为常数），则（）

A、 $\forall a \in R, f (x)$ 为奇函数 B、 $\exists a \in R, f (x)$ 为偶函数 C、 $\forall a \in R, f (x)$ 为增函数 D、 $\exists a \in R, f (x)$ 为减函数

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14、已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（）

A、 $36 \sqrt{3}$ B、 $36 \sqrt{6}$ C、 $108 \sqrt{3}$ D、 $108 \sqrt{6}$

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15、若 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$

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16、在四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ ，则“ $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ”是“四边形 $A B C D$ 是正方形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、双曲线 $4 x^{2} - y^{2} = 4$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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18、下列各组数据中方差最大的一组是（）

A、6，6，6，6，6 B、5，5，6，7，7 C、4，5，6，7，8 D、4，4，6，8，8

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19、图是计算机科学中的一种极为重要的模型．图的连通性常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优化等领域中．一个图 $G$ 由顶点集 $V$ 与边集 $E$ 组成，记为 $G = (V, E)$ ．顶点集 $V$ 是这个图所有顶点的集合，图中任意3个顶点不在同一直线上．图的边是指两个不同的顶点直接相连成的线段，边集 $E$ 就是这个图所有边的集合．如图所示为一个由4个顶点组成的图 $G^{'}$ ，其顶点集 $V^{'} = \{A, B, C, D\}$ ，边集 $E^{'} = \{A B, B C, B D\}$ ．若图 $G$ 中依次存在一组边： $A_{0} A_{1}, A_{1} A_{2}, \dots, A_{m - 1} A_{m}$ ，则称顶点 $A_{0}, A_{m}$ 相互可达．如果图 $G$ 中任意两个顶点相互可达，则称图 $G$ 是连通的，如右所示的图 $G^{'}$ 就是连通的．
一个有含有 $n$ 个顶点的图 $G_{n}$ ，任意两个顶点间有边的概率为 $\frac{1}{2}$ ．设图 $G_{n}$ 是连通的概率为 $R (n)$ ，定义 $R (1) = 1$ ．

(1)、当 $n = 3$ 时，在顶点 $A$ 与顶点 $B$ 相互可达的条件下，求 $A$ 与 $B$ 之间有边的概率；

(2)、当 $n = 4$ 时，求恰有3个顶点相互可达的概率；

(3)、求 $R (5)$ ．

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，且点 $F$ 到双曲线 $C$ 的渐近线的距离为 $1$ ．过点 $P (3, 0)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交双曲线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点， $l_{2}$ 交双曲线 $C$ 于 $D$ 、 $E$ 两点， $M$ 、 $N$ 分别是 $A B$ 、 $D E$ 的中点，直线 $M N$ 过定点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ；再过点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 作两条互相垂直的直线 $l_{3}$ 和 $l_{4}$ ， $l_{3}$ 交双曲线 $C$ 于 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 两点， $l_{4}$ 交双曲线 $C$ 于 $D_{1}$ 、 $E_{1}$ 两点， $M_{1}$ 、 $N_{1}$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ 、 $D_{1} E_{1}$ 的中点，直线 $M_{1} N_{1}$ 过定点 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 、 $P_{3} (x_{3}, y_{3})$ 、 $\dots$ 、 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求点 $P_{1}$ 的坐标；

(3)、若 $Q (1, 0)$ 、 $R (1, 1)$ ，记 $△ Q R P_{n} (n \geq 1, n \in N^{*})$ 的面积为 $S_{n}$ ，证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < 2$ ．

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