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相关试卷

1、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M$ 为 $D D_{1}$ 中点， $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上， $M N / / A B / / A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求证：平面 $A B N M ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} N M$ ；

(2)、求平面 $A B N M$ 与平面 $A M B_{1}$ 所成锐二面角的正弦值．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若对于任意的 $x \in [\frac{1}{e}, e]$ ，都有 $x^{2} f (x) \leq a x - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．
参考数据： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} a_{4} = a_{2}^{2}$ ， $a_{1} + a_{2} = 3$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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4、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x + 1)}^{2} + {(y + \frac{m}{2})}^{2} = 3 + \frac{m^{2}}{4}$ ，两圆交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ A B C_{2}$ 面积的最小值为．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 2$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $S_{3} =$ ．

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6、函数 $f (x) = sin x + 1$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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7、已知双曲线 $E : 4 x^{2} - y^{2} = n^{2} (n \in N^{*})$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过点 $F$ ，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ （从左到右），则下列说法正确的是（）

A、当 $n = 2$ 时，其中一条渐近线方程为 $y = 2 x$ B、存在 $n \in N^{*}$ ，存在直线 $l$ ，使得点 $B$ 为线段 $C F$ 的中点，且 $∠ O B A = 90^{\circ}$ C、任意 $n \in N^{*}$ ，存在直线 $l$ ，使得点 $B$ 为线段 $D F$ 的中点，且 $∠ O B A = 90^{\circ}$ D、任意 $n \in N^{*}$ ，无论直线 $l$ 怎么运动， $|A B| = |C D|$

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8、已知直线 $l : x + m y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - m)}^{2} + y^{2} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 经过定点 $A (1, 0)$ B、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，则 $|M N|$ 的最大值为2 C、存在实数 $m$ ，使得直线 $l$ 与圆 $C$ 相离 D、若 $C$ 上存在四个不同的点，到直线 $l$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ ，则 $m$ 的范围是 $(\frac{- 4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3})$

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9、正项数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为3， $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ． $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{3} = 27$ B、 $S_{1}$ ， $S_{2} - S_{1}$ ， $S_{3} - S_{2}$ 成等比数列 C、 $S_{n} = 3^{n + 1} - 3$ D、数列 $\{{log}_{3} a_{n}\}$ 是公差为1的等差数列

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10、已知函数 $f (x) = \frac{{log}_{a} x}{x^{a}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）存在最小值 $M (a)$ ，当 $a$ 变化时， $M (a)$ 有（）

A、最大值 B、最小值 C、既有最大值，又有最小值 D、以上说法都不正确

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，直线 $l$ 过点 $F$ ，且与 $x$ 轴垂直，交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，已知 $△ A M N$ 的周长为 $6 |A F|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、已知直线 $l : 3 x + 4 y + 7 = 0$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $P$ 为 $C$ 上一动点，则 $P$ 到 $l$ 的最小距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、某学校高二年级开设了乒乓球、羽毛球和篮球三门课，甲、乙两位同学每人从中选择一门，且允许多位同学选择同一门课．若至少有一位同学选择了乒乓球，则这两位同学不同的选课方法共有（）种．

A、2 B、4 C、5 D、9

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14、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : x^{2} - x + y^{2} - y = 0$ ，两圆的交点为 $M$ ， $N$ ，则 $|M N| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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15、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} + a_{4} = 16$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、10 B、20 C、30 D、40

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16、直线 $- 2 x + 4 y + 1 = 0$ 与直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 一定（）

A、平行 B、垂直 C、重合 D、相交但不垂直

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17、向量 $\vec{A B} - \vec{C B} + \vec{C A} =$ （）

A、 $\vec{0}$ B、 $- 2 \vec{A C}$ C、 $2 \vec{B C}$ D、 $2 \vec{A C}$

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18、“ $x > 1$ 是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分且不必要条件 B、必要且不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知函数 $f (x) = 2024^{x} - 2024^{- x} + 2$ ，若 $(a + 1) (b + 1) > 0$ ，且 $f (a - 1) + f (b) = 4$ ，则 $\frac{2}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为（）

A、 $1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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20、数据 $12$ ， $12$ ， $12$ ， $14$ ， $15$ 的平均数与众数的差为（）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $- 2$

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