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相关试卷

1、如图，已知矩形 $B B_{1} C_{1} C$ 所在平面与直角梯形 $A B B_{1} N$ 所在平面垂直，在直角梯形 $A B B_{1} N$ 中， $A N // B B_{1}$ ， $A B ⊥ A N$ ， $A B = B C = A N = \frac{1}{2} B B_{1}$ .

(1)、判断 $B C_{1}$ 与 $B_{1} N$ 是否垂直，并说明理由；

(2)、求直线CN与平面 $B C_{1} N$ 所成角的余弦值.

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2、已知圆 $C$ 过点 $A (- 3, - 2)$ 和点 $B (1, - 6)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x + y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、经过点 $(5, - 3)$ 作直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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3、某学校举办了一场趣味知识竞赛，将100名参赛学生的成绩（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中m的值，并估计这100名参赛学生的成绩的中位数；

(2)、若从竞赛成绩在[80，90），[90，100]内的两组学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中任意抽取2人代表学校参加竞赛，求抽取的2人中至少有1人的成绩在[90，100]内的概率.

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4、在正四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c} . \vec{O M} = 2 \vec{M A}, \vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示）．若 $| \vec{a} | = \sqrt{5}$ ，则 $| \vec{M N} | =$ ．

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5、已知事件 $A$ 与 $B$ 互斥，且 $P (A) = 0.1$ ， $P (B) = 0.4$ ，则 $P (A \cup B) =$ .

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6、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，动点 $P$ 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内（含表面），且满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} + μ \vec{A E}$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $Ω$ ，则（）

A、 $Ω$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{33}}{8}$ B、 $Ω$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{35}}{8}$ C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B D_{1}$ D、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为定值

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7、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y + 9 = 0$ ，点 $Q$ 是直线 $l : 3 x + 4 y - 3 = 0$ 上的点，则（）

A、圆 $C$ 上有两个点到直线 $l$ 的距离为2 B、圆 $C$ 上只有一个点到直线 $l$ 的距离为2 C、从 $Q$ 点向圆 $C$ 引切线，切线长的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、从 $Q$ 点向圆 $C$ 引切线，切线长的最小值是 $2 \sqrt{5}$

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8、已知复数 $z = (9 + 8 i) (5 - i)$ ，则（）

A、 $z$ 的虚部为31i B、 $\bar{z} = 53 - 31 i$ C、 $z - 53$ 为纯虚数 D、 $z > 31 i$

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9、已知复数z满足 $|z - 3 + 4 i| = 2$ ， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，则 $z \cdot \bar{z}$ 的最大值为（）

A、7 B、9 C、25 D、49

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10、掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件 $A =$ “第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件 $B =$ “第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $P (A) = P (B)$ D、 $A = B$

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11、抛物线 $y = \frac{1}{16} x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, 4)$ B、 $(0, 8)$ C、 $(0, \frac{1}{64})$ D、 $(4, 0)$

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12、甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ ，则该题被攻克的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{13}{15}$

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13、设 $(i^{20} + i^{25}) z = 2$ ，则z在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{x}$ 的零点所在的区间可能是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2}$ ， $1)$ C、 $(\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3})$

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15、已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{5} - y^{2} = 1$ 上任意一点．

(1)、求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

(2)、已知点 $A (4, 0)$ ，求 $|P A|$ 的最小值．

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16、如图，矩形 $A B C D$ 是圆柱 $O^{'} O$ 的轴截面， $A B = 4, A D = 2 \sqrt{2}, E, F$ 分别是上、下底面圆周上的点，且 $C F ∥ A E$ ．

(1)、求证： $D F ∥ B E$ ；

(2)、若四边形 $B E D F$ 为正方形，求平面 $A B F$ 与平面 $A D E$ 夹角的正弦值

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17、已知 $A, B, F$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点，上顶点和右焦点，若过 $A, B, F$ 三点的圆恰与 $y$ 轴相切，则 $C$ 的离心率为．

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18、在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D, A B = 1, C D = 3, cos ∠ D A C = \frac{\sqrt{2}}{4}, cos ∠ A C D = \frac{3}{4}$ ，则（）

A、 $A D = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $cos ∠ B A D = - \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\vec{B A} \cdot \vec{A D} = - \frac{3}{4}$ D、 $A C ⊥ B D$

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19、若 $x_{0}$ 是方程 $f (g (x)) = g (f (x))$ 的实数解，则称 $x_{0}$ 是函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的“复合稳定点”．若函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 与 $g (x) = 2 x - 2$ 有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(1, \sqrt{2})$ D、 $(\sqrt{2}, + \infty)$

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20、造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于 $- 1$ ，到点 $F (1 ， 0)$ 的距离与到定直线 $x = a (a < 0)$ 的距离之积为 $1.$

(1)、求a的值；

(2)、当点 $(x_{0} ， y_{0})$ 在C上时，求证： $y_{0} \geq \frac{- 1}{x_{0} + 1};$

(3)、如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $A_{1} (x_{3} ， y_{3})$ ， $B_{1} (x_{4} ， y_{4})$ ，其中 $x_{i} \geq 0 (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，求四边形 $A A_{1} B B_{1}$ 面积的最小值.

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