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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 - a^{2}) x^{2} + 2 a x - 3, x \leq 1 \\ {log}_{a} x + 1, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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2、一个扇形的弧长与面积的数值都是4，则这个扇形的圆心角的弧度数为 $rad$ .

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3、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为.

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4、质点 $P$ 和 $Q$ 在以坐标原点 $O$ 为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发， $P$ 的角速度大小为 $1 rad / s$ ，起点为 $(1, 0)$ ， $Q$ 的角速度大小为 $3 rad / s$ ，起点为 $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ .则当 $P$ 与 $Q$ 重合时， $P$ 的坐标可能为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$

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5、下列关于函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 的说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 是增函数 C、 $f (|x|)$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ D、若 $0 < a < \frac{1}{2}$ ，则方程 $|f (x)| = a$ 有四个不等实数根

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6、已知 $a > b > 0, c > 0$ ，则（）

A、 $a c > b c$ B、 $a^{c} > b^{c}$ C、 $c^{a} > c^{b}$ D、 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$

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7、已知函数 $f (x) = tan (x + \frac{π}{3}) - sin x$ ，则在下列区间中，函数 $f (x)$ 一定有零点的是（）

A、 $[0, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[\frac{3 π}{4}, π]$

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8、函数 $f (x) = \frac{3 (x^{3} - x)}{e^{x} + e^{- x}}$ 在 $[- 8, 8]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = k \cdot {log}_{3} \frac{Q}{100}$ （ $k$ 为常数），其中 $Q$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速 $v = 0.5 m / s$ 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速 $v = 1 m / s$ ，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（）

A、600 B、700 C、800 D、900

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10、已知 $tan α = - 2$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11、已知 $a = {1.1}^{0.5}, b = {0.5}^{1.1}, c = {log}_{0.5} 1.1$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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12、设函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为4的偶函数，当 $x \in [- 2, 0]$ 时， $f (x) = x + 1$ ，则 $f (5) =$ （）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、6

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13、已知命题 $p$ ：所有的素数都是奇数；命题 $q$ ：存在一个素数不是奇数.则（）

A、 $p$ 和 $q$ 都是真命题 B、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题 C、 $\neg p$ 和 $q$ 都是真命题 D、 $p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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14、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = \{x ∣ x^{2} + x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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15、（1）已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；
（2）已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π, \tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}, \cos (β - α) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $β$ 的值.

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16、某中学 $400$ 名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了 $100$ 名学生，记录他们的分数，将数据分成 $7$ 组： $[20,30),[30,40), \dots,[80 .90]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图求出分数大于 $70$ 的频率与频数；

(2)、根据频率分布直方图求样本中 $75 %$ 分位数；

(3)、已知样本中男生与女生的比例是 $3 ： 1$ ，男生样本的均值为 $70$ ，方差为 $10$ ，女生样本的均值为 $80$ ，方差为 $14$ ，请计算样本的均值与方差.

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos^{2} C - \cos^{2} A = \sqrt{2} \sin A \sin B - \sin^{2} B$ .

(1)、求 $∠ C$ 的大小；

(2)、已知 $a + b = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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18、如图所示，在 $△ O B C$ 中，点 $A$ 是 $B C$ 的中点，点 $D$ 是靠近点 $B$ 将 $O B$ 分成 $2 : 1$ 的一个三等分点， $D C$ 和 $O A$ 交于点 $E$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ 、 $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{O C}$ 、 $\vec{D C}$ ；

(2)、若 $\vec{O E} = λ \vec{O A}$ ，求 $λ$ 的值.

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19、从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
$[75, 85)$
$[85, 95)$
$[95, 105)$
$[105, 115)$
$[115, 125)$
频数
6
26
38
22
8

(1)、根据上表补全所示的频率分布直方图；

(2)、估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；

(3)、根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (4, - 3)$ .

(1)、若向量 $\vec{c} ∥ \vec{a}$ ，且 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{5}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若向量 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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质量指标值分组	$[75, 85)$	$[85, 95)$	$[95, 105)$	$[105, 115)$	$[115, 125)$
频数	6	26	38	22	8