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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = x + a ln x + 1$ ．

(1)、求 $y = f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(3)、若 $a = 1$ 且 $x \in (0, + \infty)$ 时，求证 $g (x) \leq f (x)$ ．

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2、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D // Q A, ∠ P D A = \frac{π}{2}$ ， $C D ⊥$ 平面 $A D P Q$ ，且 $A D = P D = 2 Q A = 2$ .

(1)、求证： $Q B //$ 平面 $P D C$ ；

(2)、 $P C$ 与平面 $P B Q$ 所成角的正弦值.

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3、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2, a_{1} = 4$ .

(1)、证明： $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列；

(2)、若 $b_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数 \\ {log}_{3} (a_{n} - 1), n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{7} = 8$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前n项和S_n；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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5、某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 $20 dm \times 12 dm$ 的长方形纸，对折1次共可以得到 $10 dm \times 12 dm$ ， $20 dm \times 6 dm$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_{1} = 240 {dm}^{2}$ ，对折2次共可以得到 $5 dm \times 12 dm$ ， $10 dm \times 6 dm$ ， $20 dm \times 3 dm$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_{2} = 180 {dm}^{2}$ ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折 $n$ 次，那么 $\sum_{k = 1}^{n} S_{k} =$ ${dm}^{2}$ .

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + \frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{2^{2}} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n - 1}} a_{n} = n$ ， $n \in N^{*}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ ．

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7、若函数 $f (x) = \sin x$ 的图象在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为．

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8、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值是 $\frac{1}{e}$ B、 $f (2) < f (π) < f (3)$ C、对任意两个正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} \geq 2 e$ D、若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} + m f (x) + m = 0$ 有3个不等实数根，则 $m$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{e^{2} + e}, 0)$

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9、下列选项正确的是（）

A、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{1}{4} n^{2} + \frac{2}{3} n + 3$ ．则该数列的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{2} n + \frac{5}{12}$ ． B、若数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为等差数列 C、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = \frac{1}{4}$ ，令 $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} + a_{2} \cdot a_{3} + \dots + a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ，则 $T_{n} =$ $\frac{32}{3} \cdot (1 - \frac{1}{4^{n}})$ D、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n^{3}}{3^{n}}$ ，则当 $n = 3$ 时， $a_{n}$ 取得最大值.

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10、已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处有极大值 C、若 $f (x)$ 在 $(1, m)$ 上不单调，则 $m > 2$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(- 1, m)$ 上有最小值，则 $0 < m \leq 3$

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11、给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $y = f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x = x_{0}$ ，则称 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．经研究发现所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 $y = f (x)$ 的图象的对称中心．若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2022}) + f (\frac{2}{2022}) + f (\frac{3}{2022}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{4042}{2022}) + f (\frac{4043}{2022})$ 的和为（）

A、 $- 8088$ B、 $- 8086$ C、 $- 8084$ D、 $- 8080$

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12、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{6} > S_{7} > S_{5}$ ，有下列四个命题，其中正确的是（）

A、 $d > 0$ B、 $S_{11} > 0$ C、 $S_{12} < 0$ D、数列 $\{S_{n}\}$ 中的最大项为 $S_{11}$

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13、若函数 $y = ln x + \frac{1}{2} x^{2} - a x$ 有极值点，那么实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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14、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x$ 的单调递增区间为 $[0, + \infty)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、3 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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15、如图所示的平面直角坐标系中，是一个模拟某旅游地区的 $(n + 1) \times (n + 1)$ 格点图，共有 ${(n + 1)}^{2}$ 个格点.阴影区域 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 分别是该城市两大著名景区，阴影部分内的格点代表景区内的景点.游客在格点之间必须乘坐观光车，从格点 $A (0, 0)$ 出发，最后到达终点 $B (n, n)$ ，游客经过阴影区域中的格点都会进行游览.观光车只能在图中格点的连线上行驶，且整个过程将以最小行驶距离到达终点.

(1)、当 $n = 3$ 时，求一辆观光车从 $A$ 点到 $B$ 点会经过格点 $(2, 1)$ 的路线总数；

(2)、已知一个由 $m$ 个 $+ 1$ 和 $m$ 个 $- 1$ 构成的含有 $2 m$ 项的序列： $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 m}$ ，满足任意前 $k$ 项和 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq 0 (1 \leq k \leq 2 m)$ .序列个数为 $C_{2 m}^{m} - C_{2 m}^{m - 1}$ .
（i）当 $n = 4$ 时，某游客游览了7个景点，求他游览的路线总数；
（ii）设某游客游览了两个景区各至少1个景点的路线总数为 $Q_{n}$ ，求证：当 $n \geq 5$ 时， $168 \times {(\frac{19}{5})}^{n - 5} \leq Q_{n} \leq \frac{21}{2} \times 4^{n - 3}$ .

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点为 $A, B$ ，且 $|A B| = 2$ ，双曲线 $C$ 的一条渐近线的斜率为 $\sqrt{2}$ ，过点 $R (2, 0)$ 的直线 $l_{1}$ 交双曲线 $C$ 于 $M, N$ 两点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若双曲线 $C$ 上存在点 $T$ ，且 $\vec{O T} = \frac{\sqrt{2}}{8} (\vec{O M} + \vec{O N})$ ，求此时直线 $l_{1}$ 的方程.

(3)、过点 $R (2, 0)$ 的直线 $l_{2}$ 双曲线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $l_{1}$ 的斜率为 $k_{1} (\frac{1}{2} < k_{1} < 1)$ ，直线 $l_{2}$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{3}$ ，求 $|M R| \cdot |N R| \cdot |P R| \cdot |Q R|$ 的最小值.

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17、如图1，等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D, C D = A B + 2, E, F$ 分别为 $A B, C D$ 的中点，且 $E F = \sqrt{6}$ ，将梯形 $A E F D$ 沿 $E F$ 翻折至梯形 $A_{1} E F D_{1}$ ，使得平面 $A_{1} E F D_{1} ⊥$ 平面 $B E F C$ ，得到如图的多面体 $A_{1} B E D_{1} C F$ ，且 $B F ⊥ A_{1} C$ .

(1)、证明： $A_{1}, B, C, D_{1}$ 四点共面；

(2)、求 $B E$ 的长；

(3)、在 $D_{1} C$ 上取一点 $P$ ，使得平面 $E F P ⊥$ 平面 $A_{1} B C D_{1}$ ，求平面 $B F P$ 与平面 $B E F C$ 夹角的余弦值.

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18、已知函数 $f (x) = x^{2} + 4 ln x - a x - m$ （实数 $a, m$ 为常数）在 $x = 1$ 处取得极值.

(1)、求实数 $a$ 的值，并求 $f (x)$ 的极小值：

(2)、当 $x \in [1, 2]$ 时，设 $T (m)$ 为 $|f (x)|$ 的最大值，求 $T (m)$ 的最小值.

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19、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，且 $4 a_{3}, 2 a_{4}, a_{5}$ 成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、求 $a_{n} + \frac{a_{n - 1}}{4} + \frac{a_{n - 2}}{4^{2}} \dots + \frac{a_{1}}{4^{n - 1}}$ .

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20、在坐标平面 $x O y$ 中，已知过点 $M (a, b)$ 恰能作曲线 $y = \ln x^{2}$ 的2条切线，则由所有点 $M$ 构成的集合为.

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