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相关试卷

1、若不等式 $e^{m x} (m x - \ln 2) - x \ln x^{2} \geq 0$ ，对任意 $x \in [\frac{1}{e}, + \infty)$ 恒成立，则正实数 $m$ 的取值范围是.

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2、函数 $f (x) = \ln \frac{m - x}{2 + x}$ 的图象过原点，且 $g (x) = \frac{e^{λ x} - e^{- λ x}}{2} + f (x) + m$ ，若 $g (a) = 6$ ，则 $g (- a) =$ .

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3、已知 ${(1 - 2 x)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{2024} x^{2024}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{2024} =$ .

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4、设数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2, a_{3} + a_{4} + a_{5} = 4$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ .

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5、六氟化硫，化学式为 ${SF}_{6}$ ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体 $E - A B C D - F$ 的棱长为 $a$ ，下列说法中正确的个数有（）
①异面直线 $A E$ 与 $B F$ 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 $3 \sqrt{3}$ ；
③若点 $P$ 为棱 $E B$ 上的动点，则 $A P + C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{3} a$ ；
④若点 $O$ 为四边形 $A B C D$ 的中心，点 $Q$ 为此八面体表面上动点，且 $|O Q| = \frac{a}{2}$ ，则动点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} a π$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左焦点为 $F_{1}$ ，点 $O$ 为坐标原点，点 $M$ 为双曲线渐近线上一点且满足 $|M F_{1}| = |O M|$ ，过 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交渐近线于点 $N$ ，已知 $|M F_{1}| = \frac{\sqrt{5}}{4} |N F_{1}|$ ，则其离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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7、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，点 $E$ 满足 $2 \vec{A E} = 3 \vec{E B}$ ，在平面 $A B C D$ 中，动点 $P$ 满足 $\vec{P E} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{D P} \cdot \vec{A C}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{41} + 4$ B、 $\sqrt{41} - 6$ C、 $2 \sqrt{13} + 4$ D、 $2 \sqrt{13} - 6$

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8、在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（）
①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 成中心对称；
②函数 $f (x)$ 的解析式可以为 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{2 π}{3})$ ；
③函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{13 π}{24}]$ 上的值域为 $[0, 2]$ ；
④若把 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{2}{3}$ 倍，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，则所得函数是 $y = 2 \sin (3 x + \frac{π}{12})$

A、①③ B、②③ C、③④ D、①④

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9、成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（）

A、 $\frac{24}{55}$ B、 $\frac{28}{55}$ C、 $\frac{8}{11}$ D、 $\frac{27}{55}$

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10、已知直线 $l$ 、 $m$ 、 $n$ 与平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $l / / m$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $m / / α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$

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11、在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (3, 4)$ ，则 $\frac{sin α + 2 cos α}{cos α - sin α} =$ （）

A、11 B、 $- 10$ C、10 D、 $- 11$

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12、已知 $a = {log}_{3} 0.2, b = 3^{0.2}, c = {0.3}^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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13、若复数 $z = \frac{i}{2 - i}$ ，其中i为虚数单位，则共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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14、已知集合 $M = \{x ∣ x^{2} - 4 x > 0\}, N = {x ∣ 2 < x < 8}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(4, 8)$ D、 $(2, 4)$

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 3)$ ，若实数λ满足 $(λ \vec{b} - \vec{a}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $- 1$ D、1

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16、定义域为集合 $A$ 的函数 $f (x)$ ，若存在 $t \in A$ ，使关于 $x$ 的方程 $f (x + t) = f (x) + f (t)$ 有解，则不妨称 $f (x)$ 在“ $t$ 处”可拆，且称方程的解为 $f (x)$ 的“ $t$ 可拆点”.

(1)、若 $f (x) = 2^{x}$ ，求 $f (x)$ 的“1可拆点”；

(2)、证明：对任意 $m > - 1, g (x) = ln (x + m)$ 在“2处”可拆；

(3)、是否同时存在实数 $a$ 和正整数 $n$ ，使得函数 $h (x) = cos 2 x - a$ 在 $[0, n π]$ 上恰有5个“ $\frac{π}{6}$ 可拆点”？若存在，请求出所有符合条件的 $a$ 和 $n$ ；若不存在，请说明理由.

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17、已知函数 $f (x) = a - \frac{1}{2^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并证明你的结论；

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (m x^{2}) + f (3 - 2 m x) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
时间 $(t) /$ 年
0
1
2
3
4
年销售数量 $(Q) /$ 万片
100
150
225
337.5
506.25

(1)、在平面直角坐标系中，以 $t$ 为横轴， $Q$ 为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；

(2)、为了描述年销售数量 $Q$ 与时间 $t$ 的关系，现有以下三种数学模型供选择：
① $Q = a t + b$ ② $Q = k a^{t}$ ③ $Q = k {log}_{a} t + b$
（i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；
（ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据： $lg 2 \approx 0.301, lg 3 \approx 0.477$ ）

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19、已知函数 $f (x) = cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} sin \frac{x}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值时 $x$ 的值.

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20、（1）计算： ${(3 \frac{3}{8})}^{\frac{2}{3}} - π^{0} + \sqrt[3]{- \frac{1}{64}}$ ；
（2）已知 $x \cdot {log}_{3} 5 = 1$ ，求 $5^{x} + 5^{- x}$ 的值；
（3）已知角 $θ$ 的终边过点 $P (4, - 3)$ ，求 $sin (\frac{3 π}{2} - θ) cos (θ + π)$ 的值.

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
时间 $(t) /$ 年	0	1	2	3	4
年销售数量 $(Q) /$ 万片	100	150	225	337.5	506.25