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相关试卷

1、平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $|2 \vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{6}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1, \sqrt{3})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$

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2、在正六边形 $A B C D E F$ 中， $\vec{A B} - \vec{C D} + \vec{C E} =$ （）

A、 $\vec{0}$ B、 $\vec{F C}$ C、 $2 \vec{B F}$ D、 $\vec{B E}$

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3、设F为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的右焦点，过点 $M (1, 0)$ 的直线与椭圆C交于A，B两点，点A在x轴上方，O为坐标原点，椭圆C与x轴正半轴交于Q，与y轴负半轴交于P，点D在线段PQ上运动.

(1)、若点A为椭圆C的上顶点，求 $△ A O B$ 的面积；

(2)、设直线AQ，BQ的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} k_{2}$ 为定值；

(3)、将椭圆C所在平面沿x轴折叠，使得上半椭圆面与下半椭圆面垂直，若折叠前直线AF的斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，折叠后，当平面AOD与平面AMP的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ 时，求PD的长.

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4、已知 $a, b \in R$ ，则“ $(a - 2) (b - 2) = 0$ ”是“ ${(a - 2)}^{2} + |b - 2| = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + b > 0$ 的解集为 $\{x | x < 1$ 或 $x > 2\}$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $c > 0$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} - (a c + 1) x + 1 < 0$ 的解集（用 $c$ 表示）.

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6、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(9, 3)$ ，则 $f (4) =$ （）

A、2 B、8 C、 $\sqrt{2}$ D、16

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，且过点 $(1, \frac{\sqrt{6}}{3})$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若经过椭圆C的右焦点 $F_{2}$ 作倾斜角为 $45 °$ 的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求 $△ A O B$ 的面积.

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8、已知函数 $f (x) = ln x$ ，若存在 $g (x) \leq f (x)$ 恒成立，则称 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的一个“下界函数”．

(1)、如果函数 $g (x) = \frac{t}{x} - ln x$ 为 $f (x)$ 的一个“下界函数”，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、设函数 $F (x) = f (x) - \frac{1}{e^{x}} + \frac{2}{e x}$ ，试问函数 $F (x)$ 是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．

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9、已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为 $\frac{5}{4}$ ，左、右顶点分别为 $A (- 4, 0)$ ， $B (4, 0)$ .

(1)、求 $G$ 的方程；

(2)、过右焦点 $F_{2}$ 的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线 $A M$ 与 $B N$ 交于点 $P$ ．
（i）证明：点 $P$ 在定直线上：
（ii）若直线 $A N$ 与 $B M$ 交于点 $Q$ ，求证： $P F_{2} ⊥ Q F_{2}$ ．

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10、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = P A = 4$ ， $B C = C D = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{6}$ ， $P D = 2 \sqrt{2} .$

(1)、求证： $A D ⊥ B P;$

(2)、求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.

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11、11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙发球时甲得分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.

(1)、求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；

(2)、求第一局比赛甲获胜的概率 $p_{0}$ ；

(3)、现用 $p_{0}$ 估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d$ 为整数， $S_{3} = 21$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 1$ ， $a_{7}$ 成等比数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{5}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13、已知 $\sin (θ - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos 2 θ =$ .

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14、已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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15、抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴的下方），则下列结论正确的是（）

A、若 $|A B| = 8$ ，则 $A B$ 中点到 $y$ 轴的距离为4 B、弦 $A B$ 的中点的轨迹为抛物线 C、若 $\vec{B F} = 3 \vec{F A}$ ，则直线 $A B$ 的斜率 $k = \sqrt{3}$ D、 $4 |A F| + |B F|$ 的最小值等于9

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16、如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中点．沿BD将△BCD翻折，折成三棱锥C﹣ABD，连接BM，翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角 B、棱CD上总恰有一点N，使得MN∥平面ABC C、当三棱锥C﹣ABD的体积最大时，AB⊥BC D、∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角

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17、“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具，升装满后沿升口刮平，称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台，上、下底面边长分别为 $15cm$ 和 $12cm$ ，高为 $10cm$ （厚度不计），则该升的1平升约为（）（精确到 $0.1 L, 1 L = 1000 {cm}^{3}$ ）

A、 $1.0 L$ B、 $1.8 L$ C、 $2.4 L$ D、 $3.6 L$

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18、已知圆 $C :$ $x^{2} + y^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，当圆心C到直线 $l :$ $y = k x + 3$ 的距离最大时，实数 $k$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、－3 D、3

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19、函数 $f (x) = \frac{1}{|x|} - e^{|x|}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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20、抽样统计某位学生8次的数学成绩分别为 $81, 84, 82, 86, 87, 92, 90, 85$ ，则该学生这8次成绩的 $75 %$ 分位数为（）

A、85 B、85.5 C、87 D、88.5

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