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相关试卷

1、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点，F是抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，若 $△ F_{1} F F_{2}$ 是等边三角形，则该抛物线的方程为.

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2、已知向量 $\vec{a} = (m, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, n)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m + n =$ .

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3、如图，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分 $∠ F_{1} P F_{2} .$ 过点 $F_{2}$ 作l的垂线，垂足为N，延长 $F_{1} P$ 、 $F_{2} N$ 交于点Q，若 $cos ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{7}{8}$ ， $|M F_{1} |= 2| M F_{2}|$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{|P F_{1}|}{|P F_{2}|} = 2$ B、 $\frac{S_{△ Q F_{1} F_{2}}}{S_{△ P F_{1} F_{2}}} = \frac{3}{2}$ C、椭圆C的离心率为 $\frac{3}{4}$ D、 $|O N| = a$

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4、已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 2$ ， $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 为常数列 B、 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为单调递增数列 C、 $3 S_{n} > a_{n}^{2}$ D、 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前n项和恒小于1

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5、已知双曲线C的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，且C过点 $(\sqrt{3}, 2)$ ，则（）

A、C的焦点在y轴上 B、C的方程为 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、C的焦点到其渐近线的距离为 $2 \sqrt{2}$ D、直线 $2 x - y - 1 = 0$ 与C有两个公共点

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6、已知直线l经过抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若 $|A F| = 3 |B F|$ ，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{3}$ C、 $18 \sqrt{3}$ D、 $24 \sqrt{3}$

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7、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线 $A B_{1}$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $A A_{1}$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、1或 $2 \sqrt{3}$ C、12 D、1或12

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8、已知 $b_{n} = l n a_{n} (n \in N^{*})$ ，则“ $\{a_{n}\}$ 为正项等比数列”是“ $\{b_{n}\}$ 为等差数列”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知圆C： $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ ，直线l： $m x + y - 2 m - 3 = 0$ ，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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10、如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点， $\vec{A E} = 4 \vec{A F}$ ，则（）

A、 $\vec{D F} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C} - \vec{A D}$ B、 $\vec{D F} = \frac{1}{8} \vec{A B} + \frac{1}{8} \vec{A C} - \vec{A D}$ C、 $\vec{D F} = - \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C} + \vec{A D}$ D、 $\vec{D F} = - \frac{1}{8} \vec{A B} - \frac{1}{8} \vec{A C} + \vec{A D}$

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11、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 12$ ， $a_{4} = 2$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、 $- 5$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、1

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12、已知直线 $l_{1}$ ： $3 x - 2 y + 6 = 0$ 和直线 $l_{2}$ ： $4 x + a y + 3 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数a的值为（）

A、 $- 6$ B、 $- \frac{8}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、6

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13、在平面直角坐标系中，锐角 $α$ 、 $β$ 的终边分别与单位圆交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、如果 $A$ 点的纵坐标为 $\frac{5}{13}$ ， $B$ 点的横坐标为 $\frac{3}{5}$ ，求 $\cos (a + β)$ 的值；

(2)、若角 $a + β$ 的终边与单位圆交于 $C$ 点，经点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别作 $x$ 轴垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ 、 $P$ ．求证：线段 $M A$ 、 $N B$ 、 $P C$ 能构成一个三角形；

(3)、探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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14、已知向量 $\overset{⃑}{a} = 3 \overset{⃑}{e_{1}} - 2 \overset{⃑}{e_{2}}$ ， $\overset{⃑}{b} = 4 \overset{⃑}{e_{1}} + \overset{⃑}{e_{2}}$ ，其中 $\overset{⃑}{e_{1}} = (1, 0)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (0, 1)$ ．

(1)、求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ， $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ ；

(2)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角的余弦值．

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15、南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在 $△ A B C$ 中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若 $b = 3$ ，且 $\frac{1 - \sqrt{3} \cos B}{\sqrt{3} \sin B} = \frac{\cos C}{\sin C}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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16、已知点M是边长为2的正 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，若 $λ + μ = \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为.

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17、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为单位向量，且满足 $3 \vec{a} + 4 \vec{b} + 5 \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\cos ⟨\vec{a} - \vec{b}, \vec{c}⟩ =$ .

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18、重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形 $C O D$ ，其中 $∠ C O D = \frac{2 π}{3}$ ， $O C = 4 O A = 4$ ，动点 $P$ 在 $\overset{⌢}{C D}$ 上（含端点），连结 $O P$ 交扇形 $O A B$ 的弧 $\overset{⌢}{A B}$ 于点Q，且 $\vec{O Q} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $y = x$ ，则 $x + y = 1$ B、若 $y = 2 x$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O P} = 0$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{O P} \geq - 2$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} \geq \frac{23}{2}$

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19、已知 $z$ 是复数， $\bar{z}$ 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、若 $|z| = 1$ ，则 $|z - 1 - i|$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ C、若 $z = {(1 - 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 D、若 $1 - 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $q = - 9$

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20、若将 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的图象关于y轴对称，则 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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