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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 a \cos B = 2 c + b$ .
（1）求 $A$ ；
（2）若 $a = 3 \sqrt{3}, b = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、设两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线．

(1)、若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a} + \vec{b}, \overset{⃑}{B C} = 2 \vec{a} + 7 \vec{b}, \overset{⃑}{C D} = \vec{a} - 4 \vec{b}$ ．求证：A、B、D三点共线；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 和 $2 \vec{a} + k \vec{b}$ 共线，求实数k的值．

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3、为迎接大运会的到来，学校决定在半径为 $20 \sqrt{2} m$ ，圆心角为 $\frac{π}{4}$ 的扇形空地 $O P Q$ 的内部修建一平行四边形观赛场地 $A B C D$ ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为 $m^{2}$ .

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4、已知 $sin α - cos β = 0, cos α - sin β = 2$ ，则 $sin (α + β) =$ ．

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5、已知 $\vec{a} = (λ, 2), \vec{b} = (3, - 5)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $λ$ 的范围为．

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 sin \frac{2 π}{9} x, - \frac{27}{4} \leq x \leq \frac{9}{4}, \\ |{log}_{\frac{1}{2}} (x - 2)|, x > \frac{9}{4}, \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有四个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ （其中 $a$ 为实数， $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ），则下列结论中正确的是（）

A、 $0 < a < 2$ B、 $x_{1} + x_{2} = - \frac{9}{2}$ C、 $x_{3}^{2} + x_{4}^{2} < 18$ D、 $x_{3} x_{4} + 3 = 2 (x_{3} + x_{4})$

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7、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的图象的对称轴方程为 $x = \frac{k π}{2} - \frac{π}{12} (k \in Z)$ D、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到

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8、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ B、若 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围为 $[1, 7]$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$

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9、在 $△ A B C$ 中，若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \sqrt{3} b c$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、已知 $sin (\frac{π}{3} - x) = \frac{1}{4}$ ，则 $cos (\frac{π}{6} + x) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{15}}{4}$

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11、为了得到函数 $y = 2 sin (3 x + \frac{π}{5})$ 的图象，只要把函数 $y = 2 \sin 3 x$ 图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度

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12、某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的第65百分位数（分位数精确到0.1）；

(3)、在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.

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13、已知直线 $l_{1} : x + y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - 3 y + 1 = 0$ 相交于点 $C$ ，以 $C$ 为圆心的圆过点 $A (0, 1)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、求过点 $B (4, 5)$ 的圆 $C$ 的切线方程.

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14、已知点 $A (- 1, 0), B (0, 2)$ ，过 $P (- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 有交点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围是.

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 $2$ ，过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、若 $|A B| = 8$ ，则点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $4$ B、过点 $(0, 1)$ 与抛物线 $C$ 有且仅有一个公共点的直线至多有 $2$ 条 C、 $P$ 是准线上一点， $Q$ 是直线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点，若 $\vec{F P} = 4 \vec{F Q}$ ，则 $|F P| = 6$ D、 $9 |A F| + |B F| \geq 16$

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16、直线 $x - \frac{2 y}{3} = 2$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- 3$

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - 2 m) x + 3 m, x < 1 \\ x^{2}, x \geq 1 \end{array}$ 的值域为R ，则m的取值范围是．

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18、定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x₁ ， x₂∈R，都有f（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ） $\leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax²+x（a∈R，a≠0）
（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由；
（3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，其中自然对数的底数 $e \approx 2.718$ ，函数 $F (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $F (x) = f (x)$ ．

(1)、求 $F (x)$ 的解析式；

(2)、证明函数 $F (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调递增；

(3)、若 $a e^{2 x} - e^{x} + a \geq 0 (x \in [1, 2])$ 恒成立，求常数 $a$ 的取值范围．

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20、计算或化简．

(1)、化简： $\frac{\sqrt{a b \cdot \sqrt[3]{a b}}}{\sqrt[3]{a b \sqrt{a b}}} + \sqrt[4]{{(a - b)}^{4}} + \sqrt[3]{{(a - b)}^{3}} (0 < a < b)$ ；

(2)、计算： ${(\frac{25}{9})}^{\frac{1}{2}} + {0.1}^{- 2} + {(\frac{64}{27})}^{\frac{1}{3}} - 3 π^{0}$ ；

(3)、已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} + 2}{x^{2} + x^{- 2} + 3}$ 的值．

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