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相关试卷

1、某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表：
年份
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
民俗文化周届数编号 $X$
1
2
3
4
5
外地游客人数 $Y$ （单位：十万）
0.6
0.8
0.9
1.2
1.5

(1)、求 $Y$ 关于 $X$ 的线性回归方程 $\hat{Y} = \hat{b} X + a$ ；

(2)、据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元.
参考公式： $\begin{array}{l} \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \end{array}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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2、已知函数 $f (x) = \ln x - 2 a x$ .

(1)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $a$ 的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求a的取值范围；

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3、小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为 $\frac{3}{4}$ ，周二去健身的概率为 $\frac{5}{6}$ ，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为．

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4、对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．
关于其相关系数的大小比较，将0、 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 、 $r_{3}$ 、 $r_{4}$ 从小到大排列，应为．

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5、高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{8}$ 则下列结论正确的是（）

A、 $P_{1} < P_{2} < P_{3} < P_{4}$ B、 $P_{i} = P_{9 - i} (i = 1, 2, \dots, 8)$ C、 $P_{i} (i = 1, 2, \dots, 8)$ 的最大值为 $\frac{25}{96}$ D、 $P_{i} (i = 1, 2, \dots, 8)$ 的最小值为 $\frac{1}{32}$

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6、已知 $(2 x + 1) {(x - 2)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ， $(a_{7} \neq 0)$ ，则（）

A、 $n = 6$ B、 $a_{5} = - 108$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7} = 3$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = - 363$

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7、若函数 $f (x) = 2 a ln x + 1$ 与 $g (x) = x^{2} + 1$ 的图像存在公共切线，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $e$ B、 $2 e$ C、 $\frac{e^{2}}{2}$ D、 $e^{2}$

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8、盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是 $\frac{3}{10}$ 的事件为（）

A、恰有1个是坏的 B、4个全是好的 C、恰有2个是坏的 D、至多有2个是坏的

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9、已知f₁（x）=x，f₂（x）= $\frac{1}{x}$ ， $f_{3} (x) = x^{2}$ ，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，则所得新函数为奇函数的概率为

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\frac{1}{\ln x})}^{'} = x$ B、 ${(x \cdot e^{x})}^{'} = e^{x} + 1$ C、 ${(x - \frac{1}{x})}^{'} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ D、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2, A C = 5, ∠ B A C = 60^{°}, B C, A C$ 边上的两条中线AM，BN相交于点 $P$ ．

(1)、求中线AM的长；

(2)、求 $∠ M P N$ 的余弦值；

(3)、求 $△ A B P$ 面积．

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12、对于给定的 $n$ 项整数数列 $A_{n}$ ： $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}$ （ $n \geq 3$ ），定义变换 $H (i)$ ：①若 $i = 1$ ，则 $a_{1}$ 加 $2$ ， $a_{n}, a_{2}$ 均加 $1$ ，其余项不变；②若 $1 < i < n$ ，则 $a_{i}$ 加 $2$ ， $a_{i - 1}, a_{i + 1}$ 均加 $1$ ，其余项不变；③若 $i = n$ ，则 $a_{n}$ 加 $2$ ， $a_{n - 1}, a_{1}$ 均加 $1$ ，其余项不变．例如，对数列： $- 1, 0, 1$ 做变换 $H (1)$ 得到 $1, 1, 2$ ，即 $- 1, 0, 1 \overset{变换 H (1)}{\to} 1, 1, 2$ ；而对数列： $2, 5, 7, 3$ 先后做变换 $H (3)$ ， $H (4)$ 可得到 $3, 6, 10, 6$ ，即 $2, 5, 7, 3 \overset{变换 H (3)}{\to} 2, 6, 9, 4 \overset{变换 H (4)}{\to} 3, 6, 10, 6$ ．

(1)、找出一系列变换，使得数列： $1, 2, 3$ 经过这系列变换后成为常数列；

(2)、是否能找出一系列变换，使得数列： $- 1, - 1, 0, 2, 2$ 经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当 $n$ 为奇数时，对于任意数列 $A_{n}$ ，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）．

(3)、当 $n$ 为偶数且数列 $A_{n}$ 是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由．

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13、已知函数 $f (x) = e^{x + a}$ （ $a \in R$ ）， $O$ 为坐标原点．

(1)、当 $a = 1$ 时，
（i）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线方程；
（ii）若点 $P$ 是函数 $f (x)$ 图象上一点，求 $|O P|$ 的最小值；

(2)、若函数 $f (x)$ 图象上存在不同两点 $A, B$ 满足 $|O A| = |O B| = \sqrt{1 + |a|}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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14、已知双曲线 $E :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 2 \sqrt{2}$ ，圆 ${(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 1$ 与 $E$ 的渐近线相切．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若 $E$ 上两点 $A, B$ 满足 $\vec{F_{2} B} = λ \vec{F_{1} A}$ （ $λ > 1$ ），且四边形 $A F_{1} F_{2} B$ 的面积为 $\frac{4}{3} \sqrt{7}$ ，求 $λ$ 的值．

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15、某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在 $A, B$ 两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在 $A, B$ 两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在 $A$ 点投中得 $2$ 分，在 $B$ 点投中得 $3$ 分，未投中均得 $0$ 分，各次投中与否相互独立．

(1)、在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下 $2 \times 2$ 列联表：
得分 $\geq 3$ 分
得分 $< 3$ 分
合计
先在 $A$ 点投篮
20
5
25
先在 $B$ 点投篮
10
15
25
合计
30
20
50
是否有 $99 %$ 的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？

(2)、小明在 $A$ 点投中的概率为 $0.7$ ，在 $B$ 点投中的概率为 $0.3$ ．
（i）求小明第一次投中的概率；
（ii）记小明投篮总得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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16、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B D ⊥ D C$ ．将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使 $A B ⊥ A C$ ，连接 $A C$ ，得到三棱锥 $A - B C D$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $A E$ 、 $D E$ ，若 $A B = A D = \sqrt{2}$ ，
（i）求二面角 $B - A D - E$ 的正切值；
（ii）求三棱锥 $A - B C D$ 的外接球体积．

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17、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 1 + \sqrt{2 f (x) - {(f (x))}^{2}}$ ，则 $f (2025) + 2 f (0)$ 的最大值是．

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18、已知斜率大于零的直线 $l$ 交椭圆 $Γ :$ $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 于 $A, B$ 两点，交 $x, y$ 轴分别于 $C, D$ 两点，且 $C, D$ 是线段 $A B$ 的三等分点，则直线 $l$ 的斜率为．

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19、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{10} = 20$ ，则 $S_{10} =$ ．

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20、如图，多面体 $P A B C Q$ 由正四面体 $P - A B C$ 和正四面体 $Q - A B C$ 拼接而成，一只蚂蚁从顶点 $P$ 出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记 $n$ 次爬行后，该蚂蚁落在点 $P$ 的概率为 $p_{n}$ ，落在点 $Q$ 的概率为 $q_{n}$ ，则（）

A、 $p_{2} = \frac{1}{4}$ B、 $p_{3} > q_{4}$ C、 $p_{n} = q_{n}$ D、 $p_{2 n + 1} < \frac{1}{6}$

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年份	2015年	2016年	2017年	2018年	2019年
民俗文化周届数编号 $X$	1	2	3	4	5
外地游客人数 $Y$ （单位：十万）	0.6	0.8	0.9	1.2	1.5

	得分 $\geq 3$ 分	得分 $< 3$ 分	合计
先在 $A$ 点投篮	20	5	25
先在 $B$ 点投篮	10	15	25
合计	30	20	50

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828