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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1 - a x}{2 x - 1}$ ， $a$ 常数.
（1）若 $a = - 2$ ，求证 $f (x)$ 为奇函数，并指出 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若对于 $x \in [\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$ ，不等式 $\log_{\frac{1}{2}} (2 x + 1) - m > {(\frac{1}{4})}^{x} - \log_{2} (2 x - 1)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益 $f (x)$ 与投资额x成正比，且投资1万元时的收益为 $\frac{1}{8}$ 万元，投资股票等风险型产品的收益 $g (x)$ 与投资额x的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元．

(1)、分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；

(2)、该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

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3、已知 $A (3, 2)$ 、 $B (- 2, 1)$ 、 $C (1, - 1)$ 且 $\overset{⃑}{A P} = - 2 \overset{⃑}{P B}$
（1）证明： $Δ A B C$ 是等腰直角三角形
（2）求 $\cos ∠ A P C$ ．

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4、设函数 $y = \sqrt{1 + 2^{x} + a \cdot 4^{x}}$ ，若函数在 $(- \infty, 1]$ 上有意义，则实数 $a$ 的取值范围是．

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5、函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ ， $x \in [- 1, 1]$ 的最大值是．

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6、若函数 $y = (m^{2} - 1) x^{3} + x^{2} + 1$ 为偶函数，则 $m =$ ．

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7、下列函数中，属于奇函数并且值域为R的有（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = x + \frac{1}{x}$ C、 $y = x - \frac{1}{x}$ D、 $y = 2^{- x} + 2^{x}$

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8、下列命题中，正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ B、若 $x < 1$ ，则 $y = x + \frac{1}{x - 1}$ 的最大值为 $- 1$ C、 $\forall a \in R$ ， $\exists x \in R$ ，使得 $a x > 2$ D、若 $x > 0$ ､ $y > 0$ ， $x + y + x y = 3$ ，则 $x y$ 最小值为 $1$

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $P (3, 4)$ ，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[2, \sqrt{6}]$ B、 $[3, 5]$ C、 $[4, 6]$ D、 $[15, 35]$

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10、函数 $y = \sin (\frac{x - 1}{2} π)$ 的单调递增区间是（）．

A、 $[4 k π, (4 k + 2) π] (k \in Z)$ B、 $[4 k, 4 k + 2] (k \in Z)$ C、 $[2 k π, (2 k + 2) π] (k \in Z)$ D、 $[2 k, 2 k + 2] (k \in Z)$

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11、若不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- 2 < x < 3\}$ ，那么不等式 $a (x^{2} + 1) + b (x - 1) + c > 2 a x$ 的解集为（）

A、 $\{x |- 3 < x < 2\}$ B、 $\{x |x < - 3$ 或 $x > 2\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 4\}$ D、 $\{x |x < - 1$ 或 $x > 4\}$

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12、已知平面向量 $\vec{A B} = (- 1, 2)$ ，则与 $\vec{A B}$ 方向相同的单位向量是（）

A、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ C、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(- \frac{1}{2}, 1)$

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13、已知 $a = {0.5}^{0.4}, b = {0.4}^{- 0.5}, c = \ln \frac{1}{4}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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14、已知集合A满足 ${1} \subseteq A ⊊ {1, 2, 3, 4}$ ，这样的集合A有（）个

A、5 B、6 C、7 D、8

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15、祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为 $V_{半球}$ ， $V_{圆锥}$ ， $V_{圆柱}$ .

(1)、写出 $V_{半球}$ ， $V_{圆锥}$ ， $V_{圆柱}$ 三者之间的关系；

(2)、过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题：
（i）求截得的“球缺”的体积；
（ii）求截得的“球缺”的表面积.

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16、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $A D = 3$ ， E是 $B C$ 边上一点（含端点）， $A E$ 与 $B D$ 交于点F，设 $\vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ， $x, y \in R$ .

(1)、若E与点C重合，求x，y的值；

(2)、若 $x = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{|\vec{A F}|}{|\vec{A E}|}$ 的值；

(3)、若存在点E，使得 $A E ⊥ B D$ ，求 $\cos ∠ B A D$ 的取值范围.

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17、在 $△ A B C$ 中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 $a \sin B = b \cos \frac{A}{2}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $\sin B \sin C = \frac{1}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = 2$ ， $B_{1} B = 3$ ， D是棱 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1} / /$ 平面 $B D C_{1}$ ；

(2)、该正三棱柱被平面 $B D C_{1}$ 截去一个棱锥 $C_{1} - B D C$ ，求剩余部分的体积.

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19、已知向量 $\vec{a} = (\cos x, \sin x)$ ， $\vec{b} = (3 \sin x, \cos x)$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求x的值；

(2)、设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值.

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20、在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A = 2 ∠ B$ ， $A B = 2$ ， $△ A B C$ 的面积是 $\sqrt{15}$ ，则 $A B$ 边上的中线长是.

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