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相关试卷

1、已知 $a > b > 0$ 且 $a b = 10$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $lg a + lg b > 0$ B、 $lg a - lg b > 0$ C、 $lg a \cdot lg b < \frac{1}{4}$ D、 $\frac{\lg a}{\lg b} > 1$

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2、设正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之和 $b_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积 $c_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n}$ ，且 $b_{n} + c_{n} = 1$ ．

(1)、求证： $\{\frac{1}{c_{n}}\}$ 为等差数列，并分别求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{a_{n} \cdot b_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，不等式 $S_{n} > \frac{1}{λ} + λ - \frac{13}{6}$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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3、定义：若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的两个点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 满足 $\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}} = 0$ ，则称 $A, B$ 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 $[A, B]$ .已知椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆 $C$ 过点 $A (2, 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求“共轭点对” $[A, B]$ 中点 $B$ 所在直线 $l$ 的方程；

(3)、设 $O$ 为坐标原点，点 $P, Q$ 在椭圆 $C$ 上， $P Q$ $/ /$ $O A$ ，（2）中的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于两点 $B_{1}, B_{2}$ ，且 $B_{1}$ 点的纵坐标大于 $0$ ，设四点 $B_{1}, P, B_{2}, Q$ 在椭圆 $C$ 上逆时针排列.证明：四边形 $B_{1} P B_{2} Q$ 的面积小于 $8$ .

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4、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C$ 的圆心在直线 $y = 1$ 上，且过点 $A (4, 3), B (2, 1)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知第二象限内的点 $D$ 在圆 $O$ 上，过点 $D$ 作圆 $O$ 的切线 $l_{1}$ 恰好与圆 $C$ 相切，求 $l_{1}$ 的斜率；

(3)、判断是否存在斜率为1的直线 $l_{2}$ 与圆 $O$ 交于点P，Q，与圆 $C$ 交于点M，N，且 $| M N | = 2 \sqrt{3}$ ，若存在，求出 $|P Q|$ ；若不存在，请说明理由．

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5、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = a_{1}^{2} a_{2}, a_{4} = 128$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{\log_{2} a_{n} \log_{2} a_{n + 1}}$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = \frac{10}{21}$ ，求正整数 $n$ 的值．

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6、已知 $A$ ， $B$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右顶点， $|A B| = 2$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上第二象限内的点，设直线 $A P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B P$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 3$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为；当 $k_{1} + 2 k_{2}$ 取得最大值时，则点 $P$ 的纵坐标为．

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7、已知点 $A (1, 1, - 1)$ 在平面 $α$ 内，点 $P (0, 2, - 1)$ 在 $α$ 外，且 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, - 2, - 1)$ ，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离为．

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8、已知 $m \neq 0$ ，直线 $l_{1} : m x - 3 y - 1 = 0, l_{2} : (3 m - 2) x - m y + 2 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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9、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q = - 2$ ， $a_{2} = 4$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 2$ B、 $a_{3} + a_{4} = 6$ C、 $S_{5} = - 22$ D、数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 是公比为 $4$ 的等比数列

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10、已知向量 $\vec{m} = (2, - 1, 1), \vec{n} = (- 4, 2, - 2)$ 分别为两个不同的平面 $α, β$ 的法向量， $\vec{c} = (1, 0, - 2)$ 为直线 $l$ 的方向向量，且 $l ⊄ β$ ，则（）

A、 $α$ $∥$ $β$ B、 $l$ $∥$ $β$ C、 $l ⊥ α$ D、 $α ⊥ β$

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11、设 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 3 x$ 的焦点，过 $C$ 上一点 $M$ 作其准线的垂线，垂足为 $N$ ，若 $|M F| = 3$ ，则 $∠ F M N =$ （）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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12、已知直线 $l_{1}$ 的一个方向向量为 $\vec{m} = (x, - 2, 0)$ ，直线 $l_{2}$ 的一个方向向量为 $\vec{n} = (0, 1, 1)$ ，若直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 所成的角等于 $60^{\circ}$ ，则 $x =$ （）

A、 $0$ B、 $\pm 2$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $2$

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13、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} a_{3} a_{5} a_{7} a_{9} = \frac{1}{32}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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14、若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的离心率为4，则 $m =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、 $\sqrt{17}$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $- 1$ ，若 $a_{5} = 1$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、1 B、6 C、 $- 4$ D、-2

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16、对于任意两个正数 $a, b (a < b)$ ，记区间 $[a, b]$ 上曲线 $y = f (x)$ 下的曲边梯形面积为 $S (a, b)$ ，并规定 $S (a, a) = 0$ ， $S (a, b) = - S (b, a)$ ，记 $S (a, x) = F (x) - F (a)$ ，其中 $f (x) = F^{'} (x)$ ．

(1)、若 $f (x) = \frac{1}{x}$ 时，求证： $S (1, 2) = S (5, 10)$ ；

(2)、若 $f (x) = \frac{1}{x}$ 时，求证： $\frac{b - a}{S (a, b)} < \frac{a + b}{2}$ ；

(3)、若 $f (x) = ln x + 1$ ，直线 $y = e$ 与曲线 $S (1, x)$ 交于 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 两点，求证： $0 < x_{1} x_{2} < \frac{1}{e^{2}}$ （其中 $e$ 为自然常数）．

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17、已知圆心在 $x$ 轴上移动的圆经过点 $A (- 4, 0)$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B (x, 0)$ ， $C (0, y)$ 两个动点．

(1)、求点 $P (x, y)$ 的轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、过 $A (- 4, 0)$ 作直线与曲线 $Γ$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点．
（i） $E (2, 0)$ ，直线 $E M$ ， $E N$ 与曲线 $Γ$ 的另一个交点分别为 $D$ ， $F$ ，证明直线 $D F$ 过定点，并求出该定点；
（ii） $\{E_{n} (n, 0)\} (n = 1, 2, 3, \dots, n \in N^{*})$ 为点列，直线 $M E_{n}$ ， $N E_{n}$ 与曲线 $Γ$ 的另一个交点分别为 $D_{n}$ ， $F_{n}$ ，若数列 $\{\frac{S_{△ M N E_{n}}}{S_{△ D_{n} E_{n} F_{n}}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明 $16 \leq T_{n} < 32$ ．

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18、2022年，商汤科技（Sense Time）软件公司研制的第一款AI下棋机器人——象棋专业版“元萝卜Sense Robot”问世.2024年，商汤将大模型植入机器人推出行业首款家用四合一下棋机器人，为推介这款机器人，该公司与某市青少年活动中心联合举办了“挑战AI下棋机器人”的象棋对弈活动，由于活动中心机器人的数量有限，每人每天最多获得一次对弈资格，活动中心每天只抽签6次，每人在第 $k$ 次被抽中的概率为 $P_{k} = \frac{11 - k}{20}$ （ $k$ 取1，2，…，6）．

(1)、求张明同学在第3次抽签时获得对弈资格的概率；

(2)、在活动中心参与测试的有A-1型和A-2型两款机器人，活动规定：每位参赛者与机器人对弈三局，每局均可从这两款中任选一款，假设选手选择A-1型与A-2型的可能性相同，且每局比赛结果相互独立．若选择A-1型进行对弈，选手获胜概率为 $\frac{2}{3}$ ，获胜后可得1分，若选择A-2型进行对弈，选手获胜概率为 $\frac{1}{3}$ ，获胜后得2分，平局或失败均不得分，记参赛者得分为随机变量X，求X的分布列及数学期望 $E (X)$ ．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是一个等边三角形，底面 $A B C D$ 是平行四边形，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P B = A B = 4$ ， $A D = 2$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ P A$ ；

(2)、求平面 $P C D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值．

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20、 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ．

(1)、角 $B$ ， $C$ 所对的边为 $b$ ， $c$ ，若 $c cos C = b cos B$ ， $C = \frac{π}{3}$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、若 $A D = 2$ ，当 $△ A B C$ 的面积最大时，求 $\sin ∠ B A C$ ．

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