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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 为棱AB上的动点（不含端点），点 $H$ 为 $D^{'} E$ 上一点，直线DH交平面 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 于点 $M$ .

(1)、求证 $D^{'} M / /$ 平面 $A^{'} D E$ ；

(2)、若 $D^{'} E ⊥ D H$ ，
（i）求证 $D^{'} E ⊥$ 平面 $A^{'} M D$ ；
（ii）当 $A E$ 为何值时，直线 $A^{'} H$ 与平面 $D^{'} D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{5}$ .

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2、为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使75%的用户缴费在第一档（最低一档）， $20 %$ 的用户缴费在第二档， $5 %$ 的用户缴费在第三档（最高一档）．为此，相关部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位： $kW \cdot h$ ），并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中 $a$ 的值；

(2)、请估计月均用电量第一档的范围；

(3)、用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用电量在 $[200, 300]$ 的概率．

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3、在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 1, D, E$ 分别是 $A B$ 和 $B C$ 的中点， $\vec{A C} = 3 \vec{A F}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、用向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{D F}$ ，并求 $| \vec{D F} |$ ；

(2)、求向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{D F}$ 的夹角的余弦值．

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4、正四棱台的上下底面边长分别为 $2$ 和 $4$ ，侧棱长为 $4$ .

(1)、求它的表面积；

(2)、求它的体积.

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5、有一个半径为2的四分之一球形状的封闭储物盒，内有一个小球，则小球的最大半径为．

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6、已知集合 $U = \{1, 2\}$ ， A，B是U的子集，且 $A \cup B = U$ ，则 $A \cap B = \emptyset$ 的概率为.

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7、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边为a，b，c，若 $\sin A = \frac{4}{5}, \sin C = \frac{12}{13}, a = 1$ ，则 $c =$ ．

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8、某电商平台决定对会员进行满意度调查.该平台共有2000名会员，其中女性会员1500人，男性会员500人，采用等比例分层随机抽样的方法抽取容量为80的样本.经计算得女性样本的满意度平均数为9，方差为2，男性样本的满意度平均数为8，方差为1，则（）

A、男性会员的样本容量为40 B、每位会员被抽到的概率为 $\frac{1}{25}$ C、估计该平台会员的满意度平均数为 $8.75$ D、估计该平台会员满意度的方差为 $\frac{31}{16}$

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9、已知复数 $z = 1 - \sqrt{3} i$ ，则下列说法正确的是（）

A、在复平面内z对应的点位于第四象限 B、 $z + \bar{z} = - 2 \sqrt{3} i$ C、 $| \bar{z} | = 2$ D、 $\frac{1}{z} = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} i$

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10、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为1，E，F，G，H分别为棱 $B B_{1}, C C_{1}, A B, A C$ 的中点，点 $M$ 为线段EF上的动点，直线AM与平面 $A_{1} G H$ 交于点 $N$ ，则点 $N$ 的轨迹长度是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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11、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（）

A、事件乙和事件丙互斥 B、事件丙和事件丁互为对立 C、事件甲与事件丙相互独立 D、事件乙与事件丁相互独立

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12、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形， $S D ⊥$ 平面ABCD，点E为SC中点， $S D = A D$ ，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、已知正六边形ABCDEF的边长为1，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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14、下列各组数据中方差最大的一组是（）

A、5，5，5，5，5 B、4，4，5，6，6 C、3，4，5，6，7 D、2，2，5，8，8

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15、已知a，b为空间中不重合的直线， $α, β, γ$ 为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $a ⊥ b, b \subset α$ ，则 $a ⊥ α$ B、若 $a / / b, b \subset α$ ，则 $a / / α$ C、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a ⊥ γ, b ⊥ γ$ ，则 $a / / b$

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (λ, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数 $λ$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、-2 D、2

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17、若复数 $z = i (2 - i)$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、2 C、-i D、2i

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18、已知圆 $C_{1}$ 圆心为原点，且与直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 相切，直线l过点 $M (1, 2)$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若直线l被圆 $C_{1}$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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19、已知椭圆 $E : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $E$ 过点 $(1, 0)$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若斜率为 $2$ 的直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $E$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，证明： $| D M |^{2} + | D N |^{2}$ 为定值．

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20、如图所示， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A E F B$ 为矩形， $B C$ $∥$ $A D, B A ⊥ A D, A E = A D = 2 A B = 2 B C = 4$ .

(1)、求证： $C F$ $∥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $C D F$ 与平面 $A E F B$ 所成角的正弦值.

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