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相关试卷

1、如图，正方形ABCD边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.

(1)、当 $∠ P C Q = \frac{π}{4}$ 时，求 $△ C P Q$ 的面积最小值（ $△ C P Q$ 的面积公式是 $S = \frac{\sqrt{2}}{4} C P \cdot C Q$ ）；

(2)、求当 $Δ A P Q$ 的周长为2时，求 $∠ P C Q$ 的大小.

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2、已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) + \sin (x - \frac{π}{6}) + \cos x + a$ 在 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时的最大值为1.

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的 $x$ 的取值集合.

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3、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $\tan (α + β) = - 2$ ．
（1）求 $\tan β$ 的值；
（2）求 $\cos (α - β)$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = sin ω x + \sqrt{3} cos ω x (ω > 0), f (\frac{π}{6}) + f (\frac{π}{2}) = 0, f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则 $ω =$ .

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5、计算 $\frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °} - \frac{1}{\sin 10 °} =$ .

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6、函数 $y = 2 sin (\frac{π}{6} - 2 x)$ 的单调递增区间是．

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7、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有解，则 $m \in [- 1, \frac{3}{2}]$ D、若 $A$ 为锐角 $△ A B C$ 的一个内角，且 $f (\frac{A}{2}) = \frac{5}{6}$ ，则 $sin A = \frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{2}}{6}$

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8、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、 $x = - \frac{11π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ ，则 $|x_{2} - x_{1}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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9、已知 $a \in (0, π)$ ，且 $\sin α + \cos α = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos 2 a$ 的值为

A、 $\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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10、函数 $f (x) = |\frac{2}{1 + e^{x}} - 1| \cos x$ 在y轴两边的局部图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11、为了得到函数 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ 的图像，只需把余弦函数上所有点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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12、若 $a = {log}_{π} \frac{1}{3}$ ， $b = 3^{\frac{1}{π}}$ ， $c = sin 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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13、简谐运动 $y = 4 \sin (5 x - \frac{π}{3})$ 的相位与初相是（）

A、 $5 x - \frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{3}$ B、 $5 x - \frac{π}{3}$ ， 4 C、 $5 x - \frac{π}{3}$ ，－ $\frac{π}{3}$ D、 $4$ ， $\frac{π}{3}$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} ln (2 - x), x \leq 1, \\ - x^{2} + 1, x > 1, \end{array}$ 设 $g (x) = |f (x)| - a x + a$ ，若函数 $g (x)$ 仅有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [0, 2]$ D、 $(- 1, 0] \cup (2, + \infty)$

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15、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f (1) = 0$ ，当 $x < 0$ 时， $x f^{'} (x) + 3 f (x) > 0$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$

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16、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减，且 $x = \frac{π}{6}$ 和 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 分别是函数 $y = f (x)$ 图象的对称轴和对称中心，则 $f (\frac{π}{4}) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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17、若 $tan θ = - 2$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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18、“ $\infty$ ”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线 $C$ 过坐标原点 $O$ ， $C$ 上的点到两定点 $F_{1} (- a, 0)$ ， $F_{2} (a, 0) (a > 0)$ 的距离之积为定值．请写出下列所有正确结论的序号（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）
①若 $|F_{1} F_{2}| = 12$ ，则 $C$ 的方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 72 (x^{2} - y^{2})$
②若 $C$ 上的点到两定点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之积为16，则点 $(- 4, 0)$ 在 $C$ 上
③若 $a = 3$ ，点 $(3, y_{0})$ 在 $C$ 上，则 $2 < y_{0}^{2} < 3$
④当 $a = 3$ 时， $C$ 上第一象限内的点 $P$ 满足 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ，则 ${|P F_{1}|}^{2} - {|P F_{2}|}^{2} = 18 \sqrt{3}$

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19、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $M$ 是棱 $A B$ 的中点，点 $P$ 是平面 $A B C D$ 内的动点，且 $P$ 到平面 $A D D_{1} A_{1}$ 的距离等于线段 $P M$ 的长度，则点 $P$ 的轨迹为，线段 $B_{1} P$ 长度的最小值为．

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20、已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{2}$ ，则 $|\vec{e_{1}} - t \vec{e_{2}}| (t \in R)$ 的最小值为.

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