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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (x^{2} - m) e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $y = x - 1$ 垂直.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq a x - 1$ 对任意 $x \in (- 1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的值；

(3)、对于函数 $f (x)$ ，规定： $f^{'} (x) = {[f (x)]}^{'}, f^{(2)} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}, \dots, f^{(n)} (x) = {[f^{(n - 1)} (x)]}^{'}$ ， $f^{(n)} (x)$ 叫做函数 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数 $(n \in N^{*})$ .若对任意 $x \in (- 1, + \infty), f^{(n)} (x) > 0$ 恒成立，求满足条件的正整数 $n$ 的最小值.

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $P$ ，长轴长为 $4 \sqrt{2}$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、若椭圆 $C$ 上的两动点 $A$ ， $B$ 均在 $x$ 轴上方，且 $A F_{1} // B F_{2}$ ，求证： $\frac{1}{|A F_{1}|} + \frac{1}{|B F_{2}|}$ 的值为定值.

(3)、在（2）的条件下求四边形 $A B F_{2} F_{1}$ 的面积 $S$ 的取值范围.

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3、已知复数 $z, \bar{z}, z^{2}$ ，在复平面内对应的点分别为A，B，C，其中A在第一象限，且原点O是 $△ A B C$ 的外心.

(1)、求 $| z |$ .

(2)、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ${(b + c)}^{2} = a^{2} + 4 b c \sin^{2} \frac{A}{2}$ .
（i）证明： $△ A B C$ 是直角三角形；
（ii）求 $△ A B C$ 的面积.

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4、平面内，动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l : x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、 $O$ 为坐标原点， $A, B$ 为曲线 $E$ 上不同两点，经过 $A, B$ 两点的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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5、某校开设农耕劳动教育课，共设置了两类课程：农作物种植和田间管理，学校对选择这两类课程的学生人数进行了统计，数据记录在如下表格.
男生
女生
农作物种植课程
160
80
田间管理课程
40
120

(1)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断男生和女生在选择课程的偏好上是否有差异.

(2)、选择农作物种植课程的学生被分为6个小组，各小组种植的农作物存活率 $x_{i} % (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 分别为 $50 %$ ， $70 %$ ， $60 %$ ， $66 %$ ， $72 %$ ， $84 %$ .学校为了解存活率的偏差情况，需计算偏差系数w，其值越大，对大偏差数据的体现越明显.现给出两种计算偏差系数的方式：① $w_{1} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |$ ， ② $w_{2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，请比较哪一种方式对大偏差数据的体现更明显.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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6、已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、已知函数 $f (x) = \cos^{2} ω x + \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + m$ （ $ω > 0$ ， $m \in R$ ）的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，最小正周期为 $π$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, t]$ （ $t > 0$ ）上有且仅有1个零点，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6})$ B、 $[\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}]$ C、 $[\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ D、 $[\frac{5 π}{12}, \frac{11 π}{12}]$

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8、已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（）

A、15 B、19 C、21 D、23

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9、为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位： $t$ ），将该数据按照 $[1.2, 4.2), [4.2, 7.2), \dots, [25.2, 28.2]$ ，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准 $x$ ，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准 $x$ 的为（）

A、3.2 B、5 C、5.04 D、15.7

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10、已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} \leq 5}$ ， $B = {x | - 1 \leq x < e}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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11、若无穷正整数数列 $\{x_{n}\}$ 满足递推关系 $x_{n + 1} = \{\begin{array}{l} x_{n} + 3, x_{n} 为偶数 \\ \frac{x_{n} + 1}{2}, x_{n} 为奇数 \end{array} (n \in N_{+})$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 为好数列．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为好数列，且 $a_{4} = 6$ ，请写出 $a_{1}$ 所有可能的取值；

(2)、若 $\{b_{n}\}$ 为好数列，且 $b_{2025} = 2$ ，求 $b_{1}$ 最大的可能值；

(3)、证明：对任意的好数列 $\{c_{n}\}$ ，存在 $k \in N_{+}$ ，使得对 $\forall i \geq k$ ，都有 $c_{i} \leq 7$ ．

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12、在椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有两点 $A (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, 1), B (0, 2)$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、在线段 $A B$ 上取一点 $K$ （不包括端点），过 $K$ 作斜率为 $- \sqrt{2}$ 的直线交椭圆 $Γ$ 于 $P, Q$ 两点（ $P$ 在 $Q$ 左侧）．
（i）判断 $\frac{|K A|}{|K P|} \cdot \frac{|K B|}{|K Q|}$ 是否为定值.若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）设 $A P$ 中点为 $M$ ， $B Q$ 中点为 $N$ ， $O$ 为椭圆中心，证明：四边形 $O M K N$ 为平行四边形．

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 3^{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2 a_{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ， $T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $T_{n} < m^{2} - 4 m + \frac{7}{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + a} + 1$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极值，求 $f (x)$ 的单调区间，以及其最大值与最小值．

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15、舟山某海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：

(1)、根据图1频率分布直方图，求 $x$ ；

(2)、根据图2频率分布直方图，求新养殖法箱产量的第80百分位数的估计值（精确到 $0.01$ ）；

(3)、按照上述两个频率分布直方图，用样本频率估计总体概率，设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 $A$ 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于60kg，且新养殖法的箱产量不低于60kg”，估计 $A$ 的概率．

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16、已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 在第一象限交于 $M, N$ 两点， $l$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $P, Q$ 两点，且 $|P M|$ $= |Q N|$ ， $|P Q| = 2 \sqrt{3}$ ，则直线 $l$ 的方程为．

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17、若圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与曲线 $C_{2} : y = \ln (x - 1) + m$ 的公切线经过 $(1, - \frac{1}{2})$ ，求 $m =$ ．

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18、已知直线 $l_{1} : x + 2 y + 1 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + a y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a =$ ．

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19、三支不同的曲线 $a_{i} |y - 2| = x (a_{i} > 0, i = 1, 2, 3)$ 交抛物线 $x^{2} = 8 y$ 于点 $A_{i}, B_{i} (i = 1, 2, 3)$ ， $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线的焦点，下列说法正确的是（）

A、若 $S_{△ O F A_{i}} = 2 S_{△ O F B_{i}}$ ，则 $|F A_{i}| = 6 (i = 1, 2, 3)$ B、若 $a_{1} = 1$ ，则 $|F A_{1}| + |F B_{1}| = 12$ C、记 $△ A_{i} F B_{i}$ 的面积为 $S_{i}$ ，若 $S_{1} S_{2} = S_{3}^{2}$ ，则 $a_{1} a_{2} = a_{3}^{2}$ D、记 $△ A_{i} F B_{i}$ 的面积为 $S_{i}$ ，若 $S_{1} + S_{2} = 2 S_{3}$ ，则 $a_{1} + a_{2} = 3 a_{3}$

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20、已知圆 $C_{k} : x^{2} + y^{2} + 4 k x + 2 (k - 1) y + 5 k^{2} - 2 k = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、所有圆 $C_{k}$ 均不经过点 $(3, 0)$ B、圆心 $C_{k}$ 的轨迹方程为 $x - 2 y + 2 = 0$ C、若圆 $C_{k}$ 与圆 $M : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 外切，则 $k = - 1$ 或者 $k = - \frac{1}{5}$ D、若直线 $l : x - y + 1 = 0$ 与圆 $C_{k}$ 相交于 $A$ 、 $B$ ，且 $|A B| = \sqrt{2}$ ，则 $k = - 1$

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	男生	女生
农作物种植课程	160	80
田间管理课程	40	120

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828