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相关试卷

1、函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、3是 $f (x)$ 的极小值点 B、 $- 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 3)$ 上单调递减 D、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线斜率小于零

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ ，若 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 16]$ B、 $(- \infty, 8)$ C、 $(- \infty, - 8) \cup (8, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 16] \cup [16, + \infty)$

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3、 $(x + \frac{y^{2}}{x}) {(x - 2 y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 项的系数为（）

A、 $- 24$ B、 $- 40$ C、24 D、 $- 30$

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4、如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）

A、400 种 B、460 种 C、480 种 D、496 种

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5、用 $2, 3, 4, 5, 6$ 这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（）

A、24个 B、48个 C、60个 D、72个

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6、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\sin x)}^{'} = - \cos x$ B、 $(\ln 2)^{'} = \frac{1}{2}$ C、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ D、 ${(e^{2 x + 1})}^{'} = e^{2 x + 1}$

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7、设函数 $f (x) = \ln x + a (x - 1) (x - 2)$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内有两个不同的极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $f (x)$ 的两个不同的极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > \frac{5}{9} + \ln \frac{9}{16}$ .

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，

(1)、请证明 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = (2 n + 1) (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项的和 $T_{n}$ ．

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9、已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的下焦点为 $F (0, - 2)$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（直线 $P Q$ 与坐标轴不垂直），过 $P, Q$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $M, N$ ，若直线 $P N$ 与 $Q M$ 交于点 $H$ ，证明：点 $H$ 的纵坐标为定值.

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10、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D, E, F$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ ， $C P$ 的中点， $A B = A C = 1$ ， $P A = 2$ ．

(1)、求直线 $P A$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值；

(2)、求点 $P$ 到平面 $D E F$ 的距离．

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11、某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有种．（结果用数字表示）

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12、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{5} = 32$ ，则 $a_{3} =$ .

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13、在二项式 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2})}^{n}$ 的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（）

A、 $n = 8$ B、展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C、常数项为 $\frac{1}{16}$ D、展开式中系数最大项为第3项和第4项

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 e$ （ $e$ 为 $C$ 的离心率），则（）

A、 $a = 1$ B、 $C$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{3}$ C、 $e = \sqrt{2}$ D、 $C$ 的一条渐近线的斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）

A、48个 B、60个 C、72个 D、120个

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16、若直线 $l_{1} : a x + 3 y - 6 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (a - 2) y - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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17、已知非零向量 $\vec{a} = (2, 3, - 1)$ 和 $\vec{b} = (4, λ, - 2)$ 互相垂直，则 $λ$ 的值是（）

A、 $- 6$ B、 $6$ C、 $- \frac{10}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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18、某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ 的值分别是（）

A、 $\bar{x} = 9.5 ， s^{2} = 1.5$ B、 $\bar{x} = 9 ， s^{2} = 1.5$ C、 $\bar{x} = 9.5 ， s^{2} = 3$ D、 $\bar{x} = 9 ， s^{2} = 3$

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19、把 $n$ 元有序实数组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 称为 $n$ 维向量，类似平面向量与空间向量，对于 $n$ 维向量 $\vec{i} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}), \vec{j} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，也可定义两个向量的加法运算和减法运算 $\vec{i} \pm \vec{j} = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, \dots, a_{n} \pm b_{n})$ ；数乘运算 $λ \vec{i} = (λ a_{1}, λ a_{2}, \dots, λ a_{n}), λ \in R$ ；向量的长度（模） $| \vec{i} | = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}}$ ；两个向量的数量积 $\vec{i} \cdot \vec{j} = | \vec{i} | \cdot |\vec{j}| \cos ⟨\vec{i}, \vec{j}⟩ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}$ （ $⟨\vec{i}, \vec{j}⟩$ 表示向量 $\vec{i}, \vec{j}$ 的夹角， $⟨\vec{i}, \vec{j}⟩ \in [0, π]$ ）；向量 $\vec{j}$ 在向量 $\vec{i}$ 上的投影向量的模 $\frac{|\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}|}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}}} \cdot n$ 维向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间.

(1)、已知 $\vec{m} = (1, 2, 3, 4, 5), \vec{n} = (1, 1, 1, 1, 1)$ ，求向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角的余弦值；

(2)、已知4维向量 $\vec{O A} = (1, 2, 3, 0), \vec{O B} = (1, 2, 0, 4), \vec{O C} = (1, 0, 3, 4), \vec{O D} = (0, 2, 3, 4)$ ， $\vec{O P} = a \vec{O A} + b \vec{O B} + c \vec{O C} + d \vec{O D}$ ，且 $6 a + 7 b + 8 c + 9 d = 1$ ，求 $|\vec{O P}|$ 的最小值；

(3)、 $a_{i} \in R (i = 1, 2 \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} = 0$ ，求 $\frac{|\sum_{i = 1}^{n} a_{i}|}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}}}$ 的最大值（用含 $n$ 的式子表示）.
（注： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）

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20、动点 $M (x, y)$ 到直线 $y = x$ 与直线 $y = - x$ 的距离之积为 $\frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、若点 $A (x_{0}, y_{0})$ 为曲线 $E$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (0 < p \leq \frac{3}{4})$ 的一个公共点，点 $B (4 p, 0)$ .
①求 $x_{0}$ 的取值范围；②当 $y_{0} > 0$ ，且 $y_{0} \neq 1$ 时，求直线 $A B$ 斜率的取值范围.

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