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相关试卷

1、空中有一气球（近似看成一个点） $C$ ，其在地面 $A B D$ 的射影是 $D$ 点，在 $D$ 点的正西方A点测得它的仰角为 $45 °$ ，同时在 $D$ 点的南偏东 $60 °$ 的 $B$ 点，测得它的仰角为 $30 °$ ，若 $A 、 B$ 两点间的距离为100米，那么测量时气球 $C$ 到地面的距离 $C D$ 是（）．

A、100米 B、 $(\frac{100 \sqrt{7}}{7} + 1)$ 米 C、 $\frac{100 \sqrt{7}}{7}$ 米 D、 $100 \sqrt{7}$ 米

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2、一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件 $A =$ “两次向上的数字都为3”， $B =$ “两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（）

A、事件A与事件B相互独立 B、事件A与事件B互斥 C、 $P (B) = \frac{1}{12}$ D、P(AB)= $\frac{1}{36}$

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C E$ 中，四边形 $A B C E$ 是梯形， $A B / / C E,$ 且 $A B = 3 C E,$ 点F在棱 $P A$ 上，且 $E F$ $∥$ 平面 $P B C$ ，则 $\frac{P F}{F A}$ =（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4、如图， $△ A^{'} O^{'} B^{'}$ 为 $△ A O B$ 的直观图， $∠ O^{'} A^{'} B^{'} = \frac{π}{2}$ 且 $△ A^{'} O^{'} B^{'}$ 的面积为1，则 $△ A O B$ 中最长边的边长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、1

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5、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个单位向量， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6、已知集合 $P = \{0, 1\}$ ，集合 $Q = [- 1, 1)$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $P \cap Q = \emptyset$ B、 $P \cup Q = P$ C、 $P$ 的子集有4个 D、 $P \subseteq Q$

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7、一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（）

A、极差为5 B、中位数是7 C、平均数是5 D、众数是8

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8、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $△ A C D$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $B B_{1} = A B = 3$ ， $∠ A C B = \frac{π}{3}$ ，棱 $A D$ 的中点为 $F$ .

(1)、求证： $A D ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、现在将矩形 $B C C_{1} B_{1}$ 以边 $B B_{1}$ 所在直线为旋转轴， $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ 逆时针旋转至矩形 $B E E_{1} B_{1}$ ，解答下列问题：
（i）在旋转过程中，是否存在 $θ$ ，使得直线 $F E_{1}$ 与直线 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ ？若存在，求出满足条件的 $θ$ ；若不存在，请说明理由；
（ii）在旋转过程中，求直线 $F E_{1}$ 与平面 $B B_{1} E_{1} E$ 所成角的正弦值的最大值.

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9、由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下：
①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败；
②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁；
③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 $a = 0.7 b$

(1)、求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率；

(2)、以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题：
（i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率；
（ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由.

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10、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，满足 $a cos C + \sqrt{3} a sin C = b + c$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $20$ ，面积为 $10 \sqrt{3} ，$ 求 $a$ .

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11、已知函数 $f (x) = 3^{x} + (k - 2) \cdot 3^{- x} (x \in R)$ 为奇函数.

(1)、求实数k的值，判断函数 $f (x)$ 的单调性（无需证明），并求不等式 $f (3 x - 2) - f (x + 1) > 0$ 的解集；

(2)、若对 $\forall x \in [- 2, - 1]$ ，不等式 $f (x) + m \times 3^{x} \leq 6$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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12、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求平面 $A D D_{1} A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 的夹角的余弦值；

(2)、求点 $B$ 到平面 $A D_{1} E$ 的距离.

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13、已知点 $P$ 为等腰 $△ A B C$ 外接圆 $⊙ M$ 上的一个动点， $A C = 2 B C = 4$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围为.

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2}, x \leq 0, \\ \log_{2} x, x > 0. \end{array}$ 若 $f (a) + f (- 1) = 2$ ，则 $a =$ ．

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15、如图，两个边长均为1的正方形 $A B C D$ 与正方形 $A B E F$ 所在的平面互相垂直.点 $M$ ， $N$ 分别是对角线 $A C$ ， $B F$ 上的动点，且 $C M$ ， $B N$ 的长度相等，记 $C M = B N = a (0 < a \leq \sqrt{2})$ ，点 $P$ 是线段 $M N$ 上的一点.下列结论正确的是（）

A、 $M N = \sqrt{2} - a$ B、 $M N$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、三棱锥 $C - P B E$ 与三棱锥 $B - M C E$ 的体积相等 D、若点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 在同一个球的球面上，则该球的体积是 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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16、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则下列说法正确的有（）

A、 $z$ 的虚部为 $- 1$ B、 $\bar{z} = - 2 - i$ C、 $|z| = \sqrt{5}$ D、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限

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17、早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离.对该测量过程进行简化后，得到如下平面示意图，设 $O$ 为地心， $C$ 为月球表面上一点， $A, B$ 为圆 $O$ 上不同的两点，地球半径 $O A$ 的长记为 $R$ ，经测量， $∠ A O B = \frac{π}{2}, ∠ C A B = α = \frac{5 π}{12}, ∠ C B A = β = \frac{π}{3}$ ，则地月距离OC用 $R$ 可以表示为（）

A、 $\sqrt{4+ \sqrt{3}} R$ B、 $\sqrt{4- \sqrt{3}} R$ C、 $\sqrt{7} R$ D、 $(\sqrt{3} +1) R$

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18、四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为2，中位数为1 B、中位数为3，众数为2 C、中位数为3，极差为4 D、平均数为2，方差为2.4

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19、下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上为增函数的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \cos 2 x$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = sin \frac{x}{2}$

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20、已知函数 $f (x) = 2 x + \frac{1}{x} + 2, x \in (0, 4)$ ，则 $f (x)$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} +2$

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