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相关试卷

1、已知i为虚数单位，若复数 $z = (1 + i) (a - 2 i) (a \in R)$ 为纯虚数，则 $a$ 的值为．

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2、下列说法中正确的是（）

A、已知 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 6)$ ，则 $\{\vec{a}, \vec{b}\}$ 可以作为平面内所有向量的一个基底 B、已知 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (0, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是 $(0, - 3)$ C、若两非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、平面直角坐标系中， $A (1, 1)$ ， $B (3, 2)$ ， $C (4, 0)$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形

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3、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（）

A、 $264 π$ B、 $44 π$ C、 $4 \sqrt{11} π$ D、 $\frac{44 \sqrt{11}}{3} π$

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4、如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（）

A、 B、 C、 D、

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5、如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ， $F$ 为线段BE的中点，若以 $\vec{A F}$ ， $\vec{B E}$ 为基底表示向量 $\vec{B C}$ ，则 $\vec{B C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A F} + \frac{3}{4} \vec{B E}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A F} + \frac{2}{3} \vec{B E}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A F} + \frac{5}{6} \vec{B E}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A F} + \frac{1}{3} \vec{B E}$

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6、若复数 $z$ 满足 $(2 - i) \cdot z = i^{2025}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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7、已知函数 $f (x) = x - 1 - a \ln x$ （其中a为参数）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意 $x \in (0, + \infty)$ 都有 $f (x) \geq 0$ 成立，求实数a的取值集合；

(3)、证明： ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e < {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}$ （其中 $n \in N^{*}$ ， e为自然对数的底数）．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 4 n + 1 (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $n b_{n + 1} - (n + 1) b_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，且 $b_{1} = 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明 $\{\frac{b_{n}}{n}\}$ 为等差数列；

(3)、若 $c_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{4 (n + 1) b_{n}}{a_{n} a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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9、已知曲线 $C :$ $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，曲线C在点 $P_{0} (1, 1)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $Q_{1}$ ，过 $Q_{1}$ 作与x轴垂直的直线与C交于点 $P_{1}$ ，曲线C在点 $P_{1}$ 处的切线交x轴于点 $Q_{2}$ ， …，依次下去，得到点列： $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ， $Q_{3}$ ， …， $Q_{n}$ ， …，设 $Q_{n}$ 的横坐标为 $x_{n}$ .

(1)、求证： $x_{n + 1} = 2 x_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{n x_{n}\}$ 的前n项和.

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = - 1$ 处取得极值 $6$ .

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 3]$ 上的最大值和最小值.

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11、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2025$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{12}}{12} - \frac{S_{10}}{10} = - 2$ ，则 $S_{2025} =$ .

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12、已知 $A_{5}^{x} = 2 A_{6}^{x - 1}, x \in N^{*}$ ，则 $x =$ ．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ ，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 的极小值为0 B、 $f (x)$ 过 $(0, 0)$ 点的切线方程为 $y = \frac{x}{e}$ C、 $f (x) = \frac{3}{e^{2}}$ 有三个实根 D、 $g (x) = f (x) - a x$ ，当 $0 < x_{1} < x_{2}$ 时， $x_{2}^{2} g (x_{1}) < x_{1}^{2} g (x_{2})$ 恒成立，则a的取值范围是 $a \geq \frac{4}{e^{2}}$

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14、若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（）

A、共计有360种不同的排法 B、男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种 C、男生甲、乙相邻的排法总数为240种 D、男女生相间排法总数为36种

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、121是数列中的项 B、 $a_{n + 1} - a_{n} = 3^{n}$ C、 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列 D、存在 $k \in N^{*}$ ， $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{k}} = \frac{3}{2}$

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16、设 $a$ 为实数，若函数 $f (x) = \{\begin{cases} x - e^{x} + 2, x \leq 0 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + a, x > 0 \end{cases}$ 有且仅有一个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{16}{3})$ B、 $(- \infty, \frac{16}{3}]$ C、 $(\frac{16}{3}, + \infty)$ D、 $[\frac{16}{3}, + \infty)$

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17、已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x$ ，若存在实数 $x \in [0, 2 π]$ ，使得 $f (x) < t$ 成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - π)$ B、 $(- π, + \infty)$ C、 $(0, π)$ D、 $(π, 2 π)$

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18、函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列说法正确的有（）

A、 $x = - 2$ 为函数 $f (x)$ 的一个零点 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, \frac{1}{2})$ 上单调递减 C、 $x = \frac{1}{2}$ 为函数 $f (x)$ 的一个极大值点 D、 $f (- 1)$ 是函数 $f (x)$ 的最大值

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19、对于有穷数列 $A_{0}$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若存在 $i, j \in {1, 2, 3, \dots, n}$ ，使得 $a_{i} - a_{j} \geq 2$ ，则将数列 $A_{0}$ 进行操作变换T：将 $a_{i}$ 减1， $a_{j}$ 加1，其余项不变，得到数列 $A_{1}$ ，记为 $A_{1} = T (A_{0})$ ．从 $A_{0}$ 开始进行 $m$ 次操作变换 $T$ ，依次得到数列 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{m}$ ，即 $A_{i} = T (A_{i - 1})$ ， $i = 1, 2, \dots, m$ ．

(1)、已知数列 $A_{0}$ ： $- 2$ ， $0$ ， $1$ ， $3$ ，是否可以通过 $m$ 次操作变换 $T$ 得到如下数列？
① $- 4$ ， $2$ ， $1$ ， $2$ ；② $0$ ， $0$ ， $0$ ， $2$ ，
若可以，请写出一种满足题意的 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{m}$ ；若不可以，请说明理由；

(2)、已知数列 $A_{0}$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 是公差为 $1$ 的等差数列，若从 $A_{0}$ 开始进行 $m$ 次操作变换 $T$ 后得到数列 $A_{m}$ ： $3$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ，求 $m$ 的所有可能值．

(3)、已知数列 $A_{0}$ ： $1$ ， $2$ ， $\dots$ ， $20$ ，将数列 $A_{0}$ 进行 $m$ 次操作变换 $T$ ，直到这种操作不能再进行时为止，求 $m$ 的最大值．

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20、已知函数 $f (x) = x (x - a \ln x - \frac{1}{x})$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $0 \leq a \leq 2$ ，试判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ）．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）若存在正整数M，使得 $a x_{1} + x_{3} \geq M$ 恒成立，求M的最大值．

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